《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例7 (2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,A₁C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA₁=2,A₁到平面BCC₁B₁的距离为1.
(1)证明:A₁C=AC;
(2)已知AA₁与BB₁的距离为2,求AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值.

答案：
(1)证明：A₁C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，A₁C⊥BC。∠ACB=90°，AC⊥BC。AC∩A₁C=C，BC⊥平面AA₁C₁C。BC⊂平面BCC₁B₁，平面BCC₁B₁⊥平面AA₁C₁C。
过A₁作A₁H⊥CC₁，垂足H，平面BCC₁B₁∩平面AA₁C₁C=CC₁，A₁H⊥平面BCC₁B₁，A₁H=1。
AA₁=2，Rt△A₁CC₁中，CC₁=2A₁H=2，A₁C=AC=$\sqrt{2}$。
(2)解：以C为原点，CA,CB,CA₁为轴建立坐标系，得C(0,0,0),A($\sqrt{2}$,0,0),B₁(-$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$)。
$\overrightarrow{AB₁}=(-2\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{2})$，平面BCC₁B₁的法向量$\boldsymbol{n}=(1,0,1)$。
$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AB₁},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{AB₁}·\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AB₁}||\boldsymbol{n}|}=\frac{|-2\sqrt{2}+\sqrt{2}|}{\sqrt{8+3+2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$。