《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例13 (2023新课标Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,$2\sin(A - C)=\sin B$.
(1)求sin A；
(2)设AB=5,求AB边上的高.

答案：
(1)$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
A+B=3C，A+B+C=π，所以4C=π，C=$\frac{\pi}{4}$。
2sin(A - C)=sin B=sin(A + C)，2sin A cos C - 2cos A sin C=sin A cos C + cos A sin C，sin A cos C=3cos A sin C。
tan A=3tan C=3×1=3，$\sin A=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
(2)6
由正弦定理$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$，$\sin B=\sin(A + C)=\sin A\cos C + \cos A\sin C=\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
AC=$\frac{AB\sin B}{\sin C}=\frac{5×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{10}$。
高h=AC sin A=2\sqrt{10}×\frac{3\sqrt{10}}{10}=6。