《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例1 已知集合$A=\{0,1,2\}$，则集合$B=\{x - y|x\in A,y\in A\}=$______.

答案： $\{-2,-1,0,1,2\}$
解析：①当$x = 0$时，$y$可取0,1,2，此时$x - y$的值分别为0,-1,-2；
②当$x = 1$时，$y$可取0,1,2，此时$x - y$的值分别为1,0,-1；
③当$x = 2$时，$y$可取0,1,2，此时$x - y$的值分别为2,1,0.
由集合中元素的互异性得集合$B=\{-2,-1,0,1,2\}$.

例2（多选题）已知$A=\{y|y = x^{2}+1\}$，$B=\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$，下列关系正确的是（ ）
A.$A = B$
B.$2\in A$
C.$1\notin B$
D.$(1,2)\in B$

答案： BCD
解析：$A=\{y|y = x^{2}+1\}=\{y|y\geq1\}$，表示数集，$B=\{(x,y)|y = x^{2}+1\}$，表示点集，故$A\neq B$，A错误；
因为$2\geq1$，所以$2\in A$，B正确；
1是一个数，$B$表示点集，故$1\notin B$，C正确；
因为$2 = 1^{2}+1$，所以$(1,2)\in B$，D正确.

例3 (1)(2024广东江门一中段考)已知集合$A=\{12,a^{2}+4a,a - 2\}$，$-3\in A$，则$a=$（ ）
A.-1
B.-3或1
C.3
D.-3
(2)若$2\notin\{x|x - a＞0\}$，则实数$a$的取值范围是__________.

答案：
(1)D
解析：因为$-3\in A$，所以$a^{2}+4a=-3$或$a - 2=-3$.
由$a^{2}+4a=-3$解得$a=-1$或$a=-3$；
由$a - 2=-3$解得$a=-1$.
当$a=-1$时，$a^{2}+4a=a - 2=-3$，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当$a=-3$时，$A=\{12,-3,-5\}$，符合题意，故选D.
(2)$\{a|a\geq2\}$
解析：因为$2\notin\{x|x - a＞0\}$，所以2不满足不等式$x - a＞0$，即2满足不等式$x - a\leq0$，所以$2 - a\leq0$，即$a\geq2$.

例4 (2024福建南安阶段考试)若$\{1,a,\frac{b}{a}\}=\{0,a^{2},a + b\}$，则$a + b=$______.

答案： -1
解析：集合$\{1,a,\frac{b}{a}\}$中有元素$\frac{b}{a}$，所以$a\neq0$.
又因为$\{1,a,\frac{b}{a}\}=\{0,a^{2},a + b\}$，所以$\frac{b}{a}=0$，则$b = 0$，所以$a + b=a$.
所以$a^{2}=1$，解得$a = 1$或$a=-1$.
当$a = 1$时，$\{1,a,\frac{b}{a}\}$和$\{0,a^{2},a + b\}$均不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当$a=-1$时，$\{1,a,\frac{b}{a}\}=\{1,-1,0\}$，$\{0,a^{2},a + b\}=\{0,1,-1\}$，满足题意.
所以$a=-1$，则$a + b=a=-1$.