《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例1 若a＞b＞0，x＜y＜0，则一定有（ ）
A.$\frac{a}{y}＞\frac{b}{x}$
B.$\frac{a}{y}＜\frac{b}{x}$
C.$\frac{a}{x}＞\frac{b}{y}$
D.$\frac{a}{x}＜\frac{b}{y}$

答案： B
解析：因为x＜y＜0，所以 -x＞-y＞0，故$\frac{1}{-y}＞\frac{1}{-x}＞0$。又a＞b＞0，所以$\frac{a}{-y}＞\frac{b}{-x}$，两边同乘-1得$\frac{a}{y}＜\frac{b}{x}$，故选B。

例2 （1）（2024广东部分名校质量检测）若$a=\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$，$b=\sqrt{5}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$c=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}$，则（ ）
A.a＞c＞b
B.a＞b＞c
C.c＞b＞a
D.b＞c＞a

答案： A
解析：$a - c=\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}})=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$，经计算分子大于0，所以a＞c；$c - b=\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}-(\sqrt{5}-\frac{1}{2\sqrt{3}})=\sqrt{2}-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}$，比较$(2\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=11 + 4\sqrt{6}$与$(2\sqrt{5})^2=20$，因为$11 + 4\sqrt{6}＞20$，所以$2\sqrt{2}+\sqrt{3}＞2\sqrt{5}$，故c - b＞0，c＞b，综上a＞c＞b，选A。

（2）已知a，b均为正实数，试比较$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$与$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的大小.

答案： $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$
解析：作差法：$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a - b)}{\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}≥0$，当且仅当a=b时等号成立，故$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}≥\sqrt{a}+\sqrt{b}$。