《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例1 解下列不等式：
（1）$2x^{2}-3x - 2＞0$；（2）$-3x^{2}+6x - 2＞0$；
（3）$4x^{2}-4x + 1≤0$；（4）$x^{2}-2x + 2＞0$；
（5）$-x^{2}+6x - 10＞0$.

答案： （1）$\{x|x＜-\frac {1}{2}$或$x＞2\}$
解析：$\Delta=(-3)^{2}-4×2×(-2)=25＞0$，所以方程$2x^{2}-3x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，分别为$x_{1}=-\frac {1}{2},x_{2}=2$.因为函数$y = 2x^{2}-3x - 2$的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是$\{x|x＜-\frac {1}{2}$或$x＞2\}$.
（2）$\{x|1-\frac {\sqrt {3}}{3}＜x＜1+\frac {\sqrt {3}}{3}\}$
解析：原不等式可化为$3x^{2}-6x + 2＜0$.
$\Delta=(-6)^{2}-4×3×2 = 12＞0$，所以方程$3x^{2}-6x + 2 = 0$有两个不相等的实数根，分别为$x_{1}=1-\frac {\sqrt {3}}{3},x_{2}=1+\frac {\sqrt {3}}{3}$.因为函数$y = 3x^{2}-6x + 2$的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是$\{x|1-\frac {\sqrt {3}}{3}＜x＜1+\frac {\sqrt {3}}{3}\}$.
（3）$\{x|x=\frac {1}{2}\}$
解析：$\Delta=(-4)^{2}-4×4×1 = 0$，所以方程$4x^{2}-4x + 1 = 0$有两个相等的实数根，为$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}$.因为函数$y = 4x^{2}-4x + 1$的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是$\{x|x=\frac {1}{2}\}$.
（4）$R$
解析：原不等式可变形为$(x - 1)^{2}+1＞0$，恒成立，所以原不等式的解集为$R$.
（5）$\varnothing$
解析：原不等式可变形为$x^{2}-6x + 10＜0$，即$(x - 3)^{2}+1＜0$，无实数解，所以原不等式的解集为$\varnothing$.