《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例1（2024陕西西安部分学校联考）函数$y = \frac{x^4 - 5x^2 + 1}{x^2 - 5}(x^2 ＞ 5)$的最小值为（ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 7

答案： D
解析：由$x^2 ＞ 5$得$x^2 - 5 ＞ 0$，则$y = \frac{x^2(x^2 - 5) + 1}{x^2 - 5} = x^2 + \frac{1}{x^2 - 5} = (x^2 - 5) + \frac{1}{x^2 - 5} + 5$。根据基本不等式，$(x^2 - 5) + \frac{1}{x^2 - 5} \geq 2\sqrt{(x^2 - 5) · \frac{1}{x^2 - 5}} = 2$，当且仅当$x^2 - 5 = \frac{1}{x^2 - 5}$，即$x^2 = 6$时等号成立，此时$y \geq 2 + 5 = 7$，故最小值为7。

例2 若$x,y$均为正数，求$(x + \frac{1}{2y})^2 + (y + \frac{1}{2x})^2$的最小值。

答案： 4
解析：展开原式得$x^2 + \frac{x}{y} + \frac{1}{4y^2} + y^2 + \frac{y}{x} + \frac{1}{4x^2}$，分组为$(x^2 + \frac{1}{4x^2}) + (y^2 + \frac{1}{4y^2}) + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$。由基本不等式，$x^2 + \frac{1}{4x^2} \geq 2\sqrt{x^2 · \frac{1}{4x^2}} = 1$，同理$y^2 + \frac{1}{4y^2} \geq 1$，$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$，当且仅当$x^2 = \frac{1}{4x^2}$，$y^2 = \frac{1}{4y^2}$，$\frac{x}{y} = \frac{y}{x}$，即$x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，故最小值为$1 + 1 + 2 = 4$。

例3（1）已知$0 ＜ x ＜ 2$，求$x(5 - 2x)$的最大值；

答案： $\frac{25}{8}$
解析：$x(5 - 2x) = \frac{1}{2} · 2x(5 - 2x)$，$\because 0 ＜ x ＜ 2$，$\therefore 2x ＞ 0$，$5 - 2x ＞ 0$。由基本不等式，$2x(5 - 2x) \leq (\frac{2x + 5 - 2x}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$，当且仅当$2x = 5 - 2x$，即$x = \frac{5}{4}$时等号成立，$\therefore x(5 - 2x) \leq \frac{1}{2} × \frac{25}{4} = \frac{25}{8}$，故最大值为$\frac{25}{8}$。

例3（2）若$x ＞ 0$，$y ＞ 0$且$x + y = xy$，求$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$的最小值；

答案： 2
解析：由$x + y = xy$得$(x - 1)(y - 1) = 1$，$\because x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$\therefore x - 1 ＞ 0$，$y - 1 ＞ 0$。根据基本不等式，$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1} \geq 2\sqrt{\frac{1}{(x - 1)(y - 1)}} = 2$，当且仅当$x - 1 = y - 1 = 1$，即$x = y = 2$时等号成立，故最小值为2。

例3（3）设$a ＞ b ＞ 0$，求$a^2 + \frac{1}{b(a - b)}$的最小值；

答案： 4
解析：$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a - b ＞ 0$，$b(a - b) \leq (\frac{b + a - b}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$，$\frac{1}{b(a - b)} \geq \frac{4}{a^2}$，则$a^2 + \frac{1}{b(a - b)} \geq a^2 + \frac{4}{a^2} \geq 2\sqrt{a^2 · \frac{4}{a^2}} = 4$，当且仅当$b = a - b$且$a^2 = \frac{4}{a^2}$，即$a = \sqrt{2}$，$b = \frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，故最小值为4。

例3（4）已知正数$a,b,c$满足$a + 2b \geq c$，求$\frac{b}{a} + \frac{a}{2b + c}$的最小值。

答案： $\frac{3}{4}$
解析：$\because a + 2b \geq c$，$\therefore 2b + c \leq a + 4b$，$\frac{a}{2b + c} \geq \frac{a}{a + 4b}$，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{2b + c} \geq \frac{b}{a} + \frac{a}{a + 4b}$。令$t = \frac{b}{a} ＞ 0$，原式化为$t + \frac{1}{1 + 4t} = \frac{1}{4}(4t + 1) + \frac{1}{1 + 4t} - \frac{1}{4} \geq 2\sqrt{\frac{1}{4}(4t + 1) · \frac{1}{1 + 4t}} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，当且仅当$\frac{1}{4}(4t + 1) = \frac{1}{1 + 4t}$，即$t = \frac{1}{4}$时等号成立，故最小值为$\frac{3}{4}$。