《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例5 已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的离心率为√3/2，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，若AF=2FB，则k=___.

答案： √23/2
由题意知点A在x轴下方.设椭圆C的右准线为l，过A，B作AA'，BB'垂直于准线l，垂足分别为A'，B'，过B作BE⊥AA'于E.由椭圆的第二定义得|AF|/|AA'|=|BF|/|BB'|=e，又AF=2FB，即|AF|=2|FB|，所以|AE|=|AA'|-|A'E|=|AF|/e - |BB'|=2|BF|/e - |BF|/e=|BF|/e.所以cos∠BAE=|AE|/|AB|=(|BF|/e)/(3|BF|)=1/(3e)=1/(3×√3/2)=2√3/9，tan∠BAE=√(1 - cos²∠BAE)/cos∠BAE=√(1 - 12/81)/(2√3/9)=√(69/81)/(2√3/9)=√23/2，即k=√23/2.

例5 已知椭圆$ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0) $的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,过右焦点$ F $且斜率为$ k(k ＞ 0) $的直线与椭圆$ C $相交于$ A,B $两点,若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$,则$ k= $______.

答案： $\frac{\sqrt{23}}{2}$
解析：由题意知点$ A $在$ x $轴下方。设椭圆$ C $的右准线为$ l $,过$ A,B $作$ AA'$、$ BB' $垂直于准线$ l $,垂足分别为$ A' $,$ B' $,过$ B $作$ BE \perp AA' $于$ E $,由椭圆的第二定义得$\frac{|AF|}{|AA'|}=\frac{|BF|}{|BB'|}=e$,又$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$,即$|AF| = 2|FB|$,所以$|AE|=|AA'|-|A'E|=\frac{|AF|}{e}-|BB'|=\frac{2|BF|}{e}-\frac{|BF|}{e}=\frac{|BF|}{e}$,所以$\cos\angle BAE=\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{\frac{|BF|}{e}}{3|BF|}=\frac{1}{3e}=\frac{1}{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$,所以$\tan\angle BAE=\frac{\sqrt{23}}{2}$,即$k=\frac{\sqrt{23}}{2}$。

例6 我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球,并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点$ P $变轨进入以月球球心$ F $为一个焦点的椭圆轨道后绕月飞行,其轨道的离心率为$ e $,设月球的半径为$ R $,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为$ r $,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A.$\frac{(1 + e)r}{1 - e}+\frac{eR}{1 - e}$
B.$\frac{(1 + e)r}{1 - e}+\frac{2eR}{1 - e}$
C.$\frac{(1 - e)r}{1 + e}+\frac{eR}{1 + e}$
D.$\frac{(1 - e)r}{1 + e}+\frac{2eR}{1 - e}$

答案： B
解析：设“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为$ n $,椭圆的长半轴长为$ a $,半焦距为$ c $。由题意知$ r=a - c - R $,$ e=\frac{c}{a} $,则$ a=\frac{r + R}{1 - e} $。所以$ n=a + c - R=(e + 1)·\frac{r + R}{1 - e}-R=\frac{(1 + e)r}{1 - e}+\frac{2eR}{1 - e} $。