《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例8 如图,已知Rt△ABC,斜边BC在平面α内,点A在平面α外,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.

答案： 60°
解析：在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，
则AD⊥BC，
所以∠ADO是二面角A-BC-O的平面角，
设OA=a，
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，
知AO⊥OB，AO⊥OC，
因为∠ABO=30°，∠ACO=45°，
所以CO=a，AC=√2a，AB=2a，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
所以BC=√(AC²+AB²)=√(2a²+4a²)=√6a，
AD=(AB·AC)/BC=(2a·√2a)/√6a=2√3a/3，
在Rt△AOD中，sin∠ADO=AO/AD=a/(2√3a/3)=√3/2，
所以∠ADO=60°，
即二面角A-BC-O的大小是60°。