《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例10 化简：
（1）$\cos^{6}\alpha+\sin^{6}\alpha+3\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha$；
（2）$\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}+\frac{\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}\left(180^{\circ}＜\alpha＜270^{\circ}\right)$.

答案： （1）1；（2）$-\frac{2}{\sin\alpha}$
解析：（1）原式$=(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)(\cos^{4}\alpha-\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha+\sin^{4}\alpha)+3\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha=\cos^{4}\alpha + 2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\sin^{4}\alpha=(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)^{2}=1$；
（2）因为$180^{\circ}＜\alpha＜270^{\circ}$，所以$\sin\alpha＜0$.
原式$=\frac{\sqrt{(1+\cos\alpha)^{2}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}+\frac{\sqrt{(1-\cos\alpha)^{2}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{|\sin\alpha|}+\frac{1-\cos\alpha}{|\sin\alpha|}=\frac{2}{|\sin\alpha|}=-\frac{2}{\sin\alpha}$.