《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例 已知向量$ \boldsymbol{a}=(-2,-1),\boldsymbol{b}=(\lambda,1) $,且$ \boldsymbol{a} $与$ \boldsymbol{b} $的夹角为钝角,试求实数$ \lambda $的取值范围.

答案： $ \left( -\dfrac{1}{2},2 \right)\cup(2,+\infty) $
解析：$ \boldsymbol{a} $与$ \boldsymbol{b} $的夹角为钝角的充要条件是$ \boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＜0 $且$ \boldsymbol{a} $与$ \boldsymbol{b} $不反向共线.
由$ \boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＜0 $,得$(-2,-1)·(\lambda,1)=-2\lambda - 1＜0$,$\lambda＞-\dfrac{1}{2}$.
又当$ \boldsymbol{a} $与$ \boldsymbol{b} $反向共线,即夹角为$ 180° $时,$ \boldsymbol{a}//\boldsymbol{b} $,$\lambda = 2$,
$\lambda$的取值范围为$\left( -\dfrac{1}{2},2 \right)\cup(2,+\infty)$.