《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例 在三棱锥$P - ABC$中，$G$为$\triangle ABC$的重心，$M$在$PG$上，且$PM = 3MG$，过点$M$任意作一个平面分别交线段$PA$，$PB$，$PC$于点$D$，$E$，$F$，若$\overrightarrow{PD}=m\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PE}=n\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PF}=t\overrightarrow{PC}$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{t}=(\quad)$
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

答案： C
解析：连接$AG$并延长交$BC$于$H$，$G$是$\triangle ABC$重心，$PM = 3MG$，则$\overrightarrow{PM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{PG}=\frac{3}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AG})$。
$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，
所以$\overrightarrow{PM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{PA}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA})=\frac{1}{4}\overrightarrow{PA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{PB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{PC}$。
因为$D$，$E$，$F$，$M$共面，所以$\overrightarrow{PM}=(1 - x - y)\overrightarrow{PD}+x\overrightarrow{PE}+y\overrightarrow{PF}=(1 - x - y)m\overrightarrow{PA}+xn\overrightarrow{PB}+yt\overrightarrow{PC}$。
则$(1 - x - y)m=\frac{1}{4}$，$xn=\frac{1}{4}$，$yt=\frac{1}{4}$，
所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{t}=4(1 - x - y)+4x + 4y=4$。