《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例5 一个半径为$R$的水车示意图如图所示,一个水斗从点$A(3\sqrt{3},-3)$出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过$t$秒后,水斗旋转到点$P$,设点$P$的坐标为$(t,y)$,其纵坐标满足$y=f(t)=R\sin(\omega t+\varphi)(t\geq0,\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$,则下列叙述错误的是（ ）
A.$R=6$,$\omega=\frac{\pi}{30}$,$\varphi=-\frac{\pi}{6}$
B.当$t\in[35,55]$时,点$P$到$t$轴的距离的最大值为6
C.当$t\in[10,25]$时,函数$y=f(t)$单调递减
D.当$t=20$时,$PA=6\sqrt{3}$

答案： C
解析：A. $R=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=6$，周期$T=60=\frac{2\pi}{\omega}$，$\omega=\frac{\pi}{30}$. $t=0$时，$-3=6\sin\varphi$，$\sin\varphi=-\frac{1}{2}$，$|\varphi|＜\frac{\pi}{2}$，$\varphi=-\frac{\pi}{6}$，正确；
B. $t\in[35,55]$时，$\omega t+\varphi\in\left[\pi,\frac{5\pi}{3}\right]$，距离最大值为6，正确；
C. $t\in[10,25]$时，$\omega t+\varphi\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right]$，$y=6\sin t$在$\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]$递增，$\left[\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3}\right]$递减，非单调，错误；
D. $t=20$时，$\omega t+\varphi=\frac{\pi}{2}$，$P(0,6)$，$PA=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(6 + 3)^2}=6\sqrt{3}$，正确.