《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例5 (1)(2023全国乙理,12)已知⊙O的半径为1,直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=√2,则→PA·→PD的最大值为（ ）
$A.\frac {1}{2}+\frac {√2}{2} B.\frac {1}{2}+√2 C.1+√2 D.2+√2$
(2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c=2,O为△ABC的外心,则→AO·→BC=（ ）
$A.\frac {13}{2} B.\frac {5}{2} C.-\frac {5}{2} D.6$
(3)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,若E为边CD上的动点,则→AE·→BE的最小值为（ ）
$A.\frac {21}{16} B.\frac {3}{2} C.\frac {25}{16} D.3$

答案：
(1)A
解析：连接OA,OD,由题意得|OA|=1,∠OAP=90°,又|PO|=√2,
∴|AP|=1,
∴$∠OPA=\frac {π}{4}.$
设∠APD=θ,则$→PA·→PD=√2cos(θ-\frac {π}{4})cosθ=\frac {√2}{2}cos(2θ-\frac {π}{4})+\frac {√2}{2}≤\frac {1}{2}+\frac {√2}{2},$当且仅当$θ=\frac {π}{8}$时取等号,故→PA·→PD的最大值为$\frac {1}{2}+\frac {√2}{2}.$
(2)B
解析：(投影向量法)如图,过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥AB于点N,则M,N分别为AC,AB的中点,
则→AO·→BC=→AO·(→AC-→AB)=→AO·→AC-→AO·→AB=|→AM||→AC|-|→AN||→AB|$=\frac {9}{2}-2=\frac {5}{2}.$
(3)A
解析：(极化恒等式)取AB的中点M,连接EM,DM,
则→AE·→BE=|→EM|$²-\frac {1}{4}$|→AB|²=|→EM|$²-\frac {1}{4},$
∴当|→EM|最小时,→AE·→BE最小,
易知当EM⊥CD时,|→EM|最小,
过点A作AF⊥EM,交EM于点F.
∵∠BAD=120°,
∴∠AME=60°,
∴MF=AM·cos60°,
易得$AM=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2},EF=AD=1,$
∴$EM=EF+MF=1+\frac {1}{4}=\frac {5}{4}.$
故→AE·→BE的最小值为$(\frac {5}{4})²-\frac {1}{4}=\frac {21}{16}.$