《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例5 (1)(2023河南商丘名校第二次联考)已知△ABC中,点D在线段AB(不含端点)上,且满足$\overrightarrow{CD}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}(x,y\in \mathbf{R})$,则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为__________.

答案： $3+2\sqrt{2}$
解析:因为D在AB上,所以$x+y=1$且$x＞0,y＞0$.则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})(x+y)=3+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\geq3+2\sqrt{\frac{y}{x}· \frac{2x}{y}}=3+2\sqrt{2}$,当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$,即$x=\sqrt{2}-1,y=2-\sqrt{2}$时取等号.

(2)如图,在正八边形ABCDEFGH中,$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AE}(x,y\in \mathbf{R})$,则$x^2+y^2=$______.

答案： $\frac{3}{4}$
解析:以D为原点,DE为x轴,DA为y轴建立坐标系.设边长为1,则$D(0,0),A(0,1+\sqrt{2}),C\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right),E(1,0)$.所以$\overrightarrow{AD}=(0,-1-\sqrt{2})$,$\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$,$\overrightarrow{AE}=(1,-1-\sqrt{2})$.由$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AE}$得$\begin{cases}-\frac{\sqrt{2}}{2}x+y=0\\-\frac{\sqrt{2}}{2}x-(1+\sqrt{2})y=-1-\sqrt{2}\end{cases}$,解得$x=\frac{\sqrt{2}}{2},y=\frac{1}{2}$,则$x^2+y^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

例6 (1)给出"M,P,N三点共线"的充要条件"存在实数λ,使得$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AM}+(1-\lambda)\overrightarrow{AN}$"的证明;

答案： 证明:充分性:若$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AM}+(1-\lambda)\overrightarrow{AN}$,则$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\lambda(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN})$,即$\overrightarrow{NP}=\lambda \overrightarrow{NM}$,所以$\overrightarrow{NP}// \overrightarrow{NM}$.又NP,NM有公共点N,故M,P,N共线.
必要性:若M,P,N共线,则存在λ使$\overrightarrow{NP}=\lambda \overrightarrow{NM}$,即$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\lambda(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN})$,所以$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AM}+(1-\lambda)\overrightarrow{AN}$.

(2)在△OAB的边OA,OB上分别取点E,F,使$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$,连接BE,AF交于点G.设$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$.利用上述结论,求出用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow{OG}$的表达式.

答案： $\overrightarrow{OG}=\frac{3}{11}\boldsymbol{a}+\frac{2}{11}\boldsymbol{b}$
解析:因为A,G,F共线,设$\overrightarrow{OG}=m\overrightarrow{OA}+(1-m)\overrightarrow{OF}=m\boldsymbol{a}+\frac{1-m}{4}\boldsymbol{b}$.因为B,G,E共线,设$\overrightarrow{OG}=n\overrightarrow{OB}+(1-n)\overrightarrow{OE}=\frac{1-n}{3}\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}$.则$\begin{cases}m=\frac{1-n}{3}\frac{1-m}{4}=n\end{cases}$,解得$m=\frac{3}{11},n=\frac{2}{11}$,所以$\overrightarrow{OG}=\frac{3}{11}\boldsymbol{a}+\frac{2}{11}\boldsymbol{b}$.