《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例3 如图所示,$\triangle ABC$的三边长均不相等,$E,F,D$分别是$AC,AB,BC$的中点.
（1）写出与$\overrightarrow{EF}$共线的向量；
（2）写出与$\overrightarrow{EF}$长度相等的向量；
（3）写出与$\overrightarrow{EF}$相等的向量.

答案： （1）$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$
因为$E,F$分别是$AC,AB$的中点,所以$EF// BC$,故与$\overrightarrow{EF}$共线的向量为$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$.
（2）$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$
因为$E,F,D$分别是$AC,AB,BC$的中点,所以$EF=\frac{1}{2}BC$,$BD = DC=\frac{1}{2}BC$,即$EF = BD=DC$.又$AB,BC,AC$均不相等,故与$\overrightarrow{EF}$长度相等的向量为$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$.
（3）$\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD}$
由（2）知$EF = BD=DC$,且$EF// BC$,所以与$\overrightarrow{EF}$相等的向量为$\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD}$.

例3 如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与$\overrightarrow{EF}$共线的向量；
（2）写出与$\overrightarrow{EF}$长度相等的向量；
（3）写出与$\overrightarrow{EF}$相等的向量.

答案： （1）$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$
解析：因为E，F分别是AC，AB的中点，所以$EF// BC$，根据共线向量定义，与$\overrightarrow{EF}$共线的向量为$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$。
（2）$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$
解析：因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，所以$EF = \frac{1}{2}BC$，$BD = DC=\frac{1}{2}BC$，故$EF=BD = DC$。又因为AB，BC，AC均不相等，所以与$\overrightarrow{EF}$长度相等的向量为$\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$。
（3）$\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD}$
解析：由（2）知$EF = BD = DC$，且$EF// BC$，所以$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{CD}$方向相同、长度相等，故相等向量为$\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD}$。