《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例4 设$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是两个不共线的向量，已知$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若$\overrightarrow{BF}=5\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$，且$\overrightarrow{BF}//\overrightarrow{BD}$，求实数k的值.

答案： （1）证明：因为$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b}$，又$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{a}-8\boldsymbol{b}=2(\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b})=2\overrightarrow{BD}$，所以$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{BD}$。因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线。
（2）$-20$
解析：由（1）知$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b}$，因为$\overrightarrow{BF}//\overrightarrow{BD}$，设$\overrightarrow{BF}=\lambda\overrightarrow{BD}$，即$5\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b})$。则$\begin{cases}\lambda = 5\\-4\lambda=k\end{cases}$，解得$k=-20$。

例3 如图,已知P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点.
(1)试用向量的方法证明:PQ//AB;
(2)若|→AB|=3|→CD|,求$\frac {PQ}{AB}$的值.

答案：
(1)证明:连接CQ.
∵P,Q分别为AC,BD的中点,
∴$→CQ=\frac {1}{2}(→CB+→CD),→CP=\frac {1}{2}→CA,$
∴$→PQ=→CQ-→CP=\frac {1}{2}(→CB+→CD-→CA)=\frac {1}{2}(→AB+→CD).$
易知AB//CD,
∴可设→CD=λ→AB(λ＜0),
∴$→PQ=\frac {1+λ}{2}→AB,$又|→AB|≠|→CD|,
∴λ≠-1,
∴→PQ//→AB,即PQ//AB.
(2)
∵|→AB|=3|→CD|,
∴→AB=-3→CD,
由
(1)知→CD=λ→AB(λ＜0),
∴λ=-\frac {1}{3},
则$→PQ=\frac {1+λ}{2}→AB=\frac {1}{3}→AB,$
∴$\frac {PQ}{AB}=\frac {1}{3}.$

例4 设a,b是两个不共线的向量,已知→AB=2a-8b,→CB=a+3b,→CD=2a-b.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若→BF=5a+kb,且→BF//→BD,求实数k的值.

答案：
(1)证明:由题意,得→BD=→CD-→CB=(2a-b)-(a+3b)=a-4b.
又
∵→AB=2a-8b,
∴→AB=2→BD,
∴→AB与→BD共线,
又AB与BD有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)由→BF//→BD,可设→BF=λ→BD(λ∈R),
又→BF=5a+kb,→BD=a-4b,