《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

1 圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点为_________,定长为_________.

答案： 圆心；半径
解析：根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

2 圆的方程
1.圆的标准方程:_________,其中圆心为(a,b),半径为r.
2.圆的一般方程:当D²+E²-4F＞0时,方程x²+y²+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程,表示以_________为圆心,_________为半径的圆.
说明:对于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0,
1)当D²+E²-4F＜0时,它不表示任何图形;
2)当D²+E²-4F=0时,它表示一个点_________.

答案： （1）$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$
解析：圆的标准方程是由圆心坐标(a,b)和半径r直接写出，即$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$。
（2）$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$；$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$
解析：将圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0配方，得$(x+\frac{D}{2})^{2}+(y+\frac{E}{2})^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}$，所以圆心为$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径为$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$（当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时）。
（3）$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$
解析：当$D^{2}+E^{2}-4F = 0$时，方程$(x+\frac{D}{2})^{2}+(y+\frac{E}{2})^{2}=0$，只表示点$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。

注意:二元二次方程Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时,需满足_________.

答案： A = B≠0，C = 0，且$(\frac{D}{A})^{2}+(\frac{E}{A})^{2}-\frac{4F}{A}＞0$
解析：二元二次方程表示圆，首先x²和y²的系数相等且不为0，即A = B≠0；不含xy项，即C = 0；同时满足圆的一般方程条件，将方程两边除以A得$x^{2}+y^{2}+\frac{D}{A}x+\frac{E}{A}y+\frac{F}{A}=0$，所以$(\frac{D}{A})^{2}+(\frac{E}{A})^{2}-4×\frac{F}{A}＞0$，即$(\frac{D}{A})^{2}+(\frac{E}{A})^{2}-\frac{4F}{A}＞0$。

3.几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
圆心在原点
_____
过原点
_____ (a²+b²＞0)
圆心在x轴上
_____
圆心在y轴上
_____
与x轴相切
_____ (|b|≠0)
与y轴相切
_____ (|a|≠0)
与x,y轴都相切
_____ (|a|=|b|≠0)
圆心在x轴上且过原点
_____ (|a|≠0)
圆心在y轴上且过原点
_____ (|b|≠0)

答案： $x^{2}+y^{2}=r^{2}$；$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=a^{2}+b^{2}$；$(x - a)^{2}+y^{2}=r^{2}$；$x^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$；$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=b^{2}$；$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=a^{2}$；$(x - a)^{2}+(y - a)^{2}=a^{2}$；$(x - a)^{2}+y^{2}=a^{2}$；$x^{2}+(y - b)^{2}=b^{2}$
解析：圆心在原点(0,0)，方程为$x^{2}+y^{2}=r^{2}$；过原点，则原点到圆心(a,b)的距离等于半径，半径$r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=a^{2}+b^{2}$；圆心在x轴上，纵坐标b=0，方程$(x - a)^{2}+y^{2}=r^{2}$；圆心在y轴上，横坐标a=0，方程$x^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$；与x轴相切，半径等于圆心纵坐标的绝对值，即$r=|b|$，方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=b^{2}$；与y轴相切，半径等于圆心横坐标的绝对值，即$r=|a|$，方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=a^{2}$；与x，y轴都相切，$|a|=|b|=r$，方程$(x - a)^{2}+(y - a)^{2}=a^{2}$；圆心在x轴上且过原点，圆心(a,0)，半径|a|，方程$(x - a)^{2}+y^{2}=a^{2}$；圆心在y轴上且过原点，圆心(0,b)，半径|b|，方程$x^{2}+(y - b)^{2}=b^{2}$。

3 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系及判断方法(其中M(x₀,y₀),圆C的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F＞0)):

答案： （无需具体答案，为知识点标题及前置说明）