《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例2 (1)(2023新课标Ⅱ)设集合$A=\{0,-a\}$，$B=\{1,a - 2,2a - 2\}$，若$A\subseteq B$，则$a=$（ ）
A.2 B.1 C.$\frac{2}{3}$ D.-1
(2)已知集合$A=\{x\mid -2\leqslant x\leqslant 7\}$，$B=\{x\mid m + 1＜x＜2m - 1\}$.若$B\subseteq A$，则实数$m$的取值范围为_______.

答案：
(1)B
解析：因为$A\subseteq B$，所以$0\in B$。当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，$A=\{0,-2\}$，$B=\{1,0,2\}$，不满足$A\subseteq B$，舍去；当$2a - 2 = 0$，即$a = 1$时，$A=\{0,-1\}$，$B=\{1,-1,0\}$，满足$A\subseteq B$。综上，$a = 1$，故选B。
(2)$\{m\mid m\leqslant 4\}$
解析：当$B=\varnothing$时，$m + 1\geqslant 2m - 1$，解得$m\leqslant 2$，满足题意；当$B\neq\varnothing$时，因为$B\subseteq A$，所以$\begin{cases}m + 1\geqslant - 2\\2m - 1\leqslant 7\\m + 1＜2m - 1\end{cases}$，解得$2＜m\leqslant 4$。综上，实数$m$的取值范围为$\{m\mid m\leqslant 4\}$。

例3 (1)(多选题)(2024广东顺德德胜学校期中)已知集合$A=\{x\mid -1\leqslant 2x - 1\leqslant 5,x\in\mathbf{Z}\}$，则下列说法正确的有（ ）
A.$1\in A$ B.$\{2,3\}\subseteq A$
C.$A$中有3个元素 D.$A$有16个真子集
(2)已知集合$A=\{x\mid x^{2}-3x + 2 = 0,x\in\mathbf{R}\}$，$B=\{x\mid 0＜x＜5,x\in\mathbf{N}\}$，则满足条件$A\subseteq C\subseteq B$的集合$C$的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

答案：
(1)AB
解析：由$-1\leqslant 2x - 1\leqslant 5$，得$0\leqslant x\leqslant 3$，又$x\in\mathbf{Z}$，所以$A=\{0,1,2,3\}$。故$1\in A$，$\{2,3\}\subseteq A$，$A$中有4个元素，$A$有$2^{4}-1 = 15$个真子集，故选AB。
(2)D
解析：由$x^{2}-3x + 2 = 0$，得$x = 1$或$x = 2$，所以$A = \{1,2\}$。$B=\{1,2,3,4\}$，满足条件的集合$C$可以是$\{1,2\}$，$\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$，$\{1,2,3,4\}$，共4个，故选D。