《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例11 已知关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 2)x + m^{2}-1 = 0$.
（1）若方程有两个正实数根,求$m$的取值范围；
（2）若方程有一个正实数根和一个负实数根,求$m$的取值范围.

答案： （1）$\left\{m|-\dfrac{5}{4}\leq m ＜ - 1 或 m ＞ 1\right\}$
解析：对于方程$x^{2}-2(m + 2)x + m^{2}-1 = 0$，判别式$\Delta = 4(m + 2)^2 - 4(m^2 - 1)=16m + 20$.
若方程有两个正实数根，则$\left\{\begin{array}{l}\Delta\geq0\\x_{1}+x_{2}=2(m + 2)＞0\\x_{1}x_{2}=m^2 - 1＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}16m + 20\geq0\\m + 2＞0\\m^2 - 1＞0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m\geq-\dfrac{5}{4}\\m ＞ - 2\\m ＜ - 1 或 m ＞ 1\end{array}\right.$，综上，$-\dfrac{5}{4}\leq m ＜ - 1$或$m ＞ 1$.
（2）$\left\{m|-1 ＜ m ＜ 1\right\}$
解析：若方程有一个正实数根和一个负实数根，则$\left\{\begin{array}{l}\Delta＞0\\x_{1}x_{2}=m^2 - 1＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}16m + 20＞0\\m^2 - 1＜0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m＞-\dfrac{5}{4}\\-1 ＜ m ＜ 1\end{array}\right.$，综上，$-1 ＜ m ＜ 1$.

例12 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx + 2m + 1 = 0$.
（1）若方程有两实根,其中一根大于$-1$且小于$0$,另一根大于$1$且小于$2$,求$m$的取值范围；
（2）若方程的两实根均大于$0$且小于$1$,求$m$的取值范围.

答案： （1）$\left\{m|-\dfrac{5}{6}＜m＜-\dfrac{1}{2}\right\}$
解析：令$f(x)=x^{2}+2mx + 2m + 1$，由题意得$\left\{\begin{array}{l}f(-1)=1 - 2m + 2m + 1=2＞0\\f(0)=0 + 0 + 2m + 1＜0\\f(1)=1 + 2m + 2m + 1=4m + 2＜0\\f(2)=4 + 4m + 2m + 1=6m + 5＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2m + 1＜0\\4m + 2＜0\\6m + 5＞0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m＜-\dfrac{1}{2}\\m＜-\dfrac{1}{2}\\m＞-\dfrac{5}{6}\end{array}\right.$，所以$-\dfrac{5}{6}＜m＜-\dfrac{1}{2}$.
（2）$\left\{m|-\dfrac{1}{2}＜m\leq1 - \sqrt{2}\right\}$
解析：由题意得$\left\{\begin{array}{l}\Delta=(2m)^2 - 4(2m + 1)\geq0\\0＜-\dfrac{2m}{2}＜1\\f(0)=2m + 1＞0\\f(1)=1 + 2m + 2m + 1＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m^2 - 2m - 1\geq0\\-1＜m＜0\\2m + 1＞0\\4m + 2＞0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m\geq1 + \sqrt{2}或m\leq1 - \sqrt{2}\\-1＜m＜0\\m＞-\dfrac{1}{2}\\m＞-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$，所以$-\dfrac{1}{2}＜m\leq1 - \sqrt{2}$.