《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例4（2022新高考Ⅰ，16）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F₁，F₂，离心率为1/2.过F₁且垂直于AF₂的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是_______.

答案： 13
因为e=c/a=1/2，所以a=2c，b²=a²-c²=3c²，b=√3c，椭圆C的方程为x²/(4c²)+y²/(3c²)=1，即3x²+4y²=12c². A（0，√3c），F₂（c，0），F₁（-c，0），kₐբ₂=(0-√3c)/(c-0)=-√3，因为DF₁⊥AF₂，所以k_df₁=√3/3，直线DF₁的方程为y=√3/3(x+c).代入椭圆方程得13x²+8cx-32c²=0.设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x₁+x₂=-8c/13，x₁x₂=-32c²/13，|DE|=√(1+(√3/3)²)|x₁-x₂|=√(4/3)·√((x₁+x₂)²-4x₁x₂)=√(4/3)·√((64c²/169)+128c²/13)=48c/13=6，解得c=13/8.因为直线DF₁为线段AF₂的垂直平分线，所以|AD|=|DF₂|，|AE|=|EF₂|，△ADE的周长=|AD|+|AE|+|DE|=|DF₂|+|EF₂|+|DE|=|DF₂|+|EF₂|+|DF₁|+|EF₁|=4a=8c=13.