《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例8（2024湖北鄂东南省级示范高中期中）如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AA_{1}=AB$．在棱$B_{1}C_{1}$上是否存在一点$E$，使得$AB_{1}//$平面$A_{1}EC$？若存在，指出$E$点位置，并证明；若不存在，请说明理由．

答案： 存在，$E$为$B_{1}C_{1}$的中点
证明：取$BC$的中点$F$，连接$AF$，$B_{1}F$，$EF$，
因为$E$为$B_{1}C_{1}$的中点，
所以$EF// AA_{1}$，$EF = AA_{1}$，
所以四边形$AA_{1}EF$是平行四边形，
所以$A_{1}E// AF$．
因为$AF\not\subset$平面$A_{1}EC$，$A_{1}E\subset$平面$A_{1}EC$，
所以$AF//$平面$A_{1}EC$．
因为$CF// B_{1}E$，$CF = B_{1}E$，
所以四边形$B_{1}ECF$是平行四边形，
所以$EC// B_{1}F$，
因为$B_{1}F\not\subset$平面$A_{1}EC$，$EC\subset$平面$A_{1}EC$，
所以$B_{1}F//$平面$A_{1}EC$．
因为$AF\cap B_{1}F = F$，$AF$，$B_{1}F\subset$平面$AB_{1}F$，
所以平面$AB_{1}F//$平面$A_{1}EC$．
因为$AB_{1}\subset$平面$AB_{1}F$，
所以$AB_{1}//$平面$A_{1}EC$．