《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例4 已知等差数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的前n项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$，且$\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{3n + 2}{n + 3}$，则$\frac{a_{2}+a_{20}}{b_{7}+b_{15}}=$（ ）
A.$\frac{9}{4}$ B.$\frac{25}{24}$ C.$\frac{65}{24}$ D.$\frac{149}{24}$

答案： C
解析：$\frac{a_{2}+a_{20}}{b_{7}+b_{15}}=\frac{2a_{11}}{2b_{11}}=\frac{a_{11}}{b_{11}}=\frac{S_{21}}{T_{21}}=\frac{3×21 + 2}{21 + 3}=\frac{65}{24}$。

例5（多选题）（2024江苏苏州张家港开学检测）已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，当且仅当$n = 7$时，$S_{n}$取得最大值.记数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$的前k项和为$T_{k}$，则下列说法正确的是（ ）
A.若$S_{6}=S_{8}$，则当且仅当$k = 13$时，$T_{k}$取得最大值
B.若$S_{6}＜S_{8}$，则当且仅当$k = 14$时，$T_{k}$取得最大值
C.若$S_{6}＞S_{8}$，则当且仅当$k = 15$时，$T_{k}$取得最大值
D.若$\exists m\in\mathbf{N}^*$，$S_{m}=0$，则当$k = 13$或$k = 14$时，$T_{k}$取得最大值

答案： BD
解析：由题意，$a_{7}＞0$，$a_{8}＜0$，公差$d＜0$。$\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{(n - 1)d}{2}$，是递减等差数列。
A. $S_{6}=S_{8}\Rightarrow a_{7}+a_{8}=0$，$\frac{S_{n}}{n}$在$n = 13$时为正，$n = 14$时为0，$T_{13}=T_{14}$为最大，A错误。
B. $S_{6}＜S_{8}\Rightarrow a_{7}+a_{8}＞0$，$\frac{S_{14}}{14}=\frac{a_{7}+a_{8}}{2}＞0$，$\frac{S_{15}}{15}=a_{8}＜0$，故$k = 14$时$T_{k}$最大，B正确。
C. $S_{6}＞S_{8}\Rightarrow a_{7}+a_{8}＜0$，$\frac{S_{14}}{14}＜0$，$k = 13$时$T_{k}$最大，C错误。
D. $S_{m}=0\Rightarrow a_{1}+a_{m}=0$，又$a_{7}＞0$，$a_{8}＜0$，则$m = 14$，$\frac{S_{14}}{14}=0$，$T_{13}=T_{14}$为最大，D正确。