《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例3 (1)(2024重庆调研)设等差数列$\{ a_{n}\} $的公差为$d(d≥0)$,若$a_{2}^{2}$是$a_{1}^{2}$与$a_{3}^{2}-2$的等差中项,则d的值为（ ）
A.0
B.$\frac {1}{2}$
C.1
D.2
(2)等差数列$\{ a_{n}\} $中,若$a_{5}=11,a_{10}=26$,则$a_{15}=$（ ）
A.40
B.41
C.42
D.43
(3)(2024江苏盐城射阳中学期中)已知数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{k+2}+a_{k}=4k+3(k∈N^{*})$,则$a_{1}+a_{2020}=$（ ）
A.4040
B.4043
C.4046
D.4049

答案：
(1)C；
(2)B；
(3)B
解析：
(1)由等差中项得$2a_{2}^{2}=a_{1}^{2}+a_{3}^{2}-2$，即$2(a_{1}+d)^{2}=a_{1}^{2}+(a_{1}+2d)^{2}-2$，整理得$d^{2}=1$，又$d≥0$，所以$d=1$，选C。
(2)解法一：设公差为d，由$\left\{\begin{array}{l} a_{1}+4d=11\\ a_{1}+9d=26\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}=-1\\ d=3\end{array}\right.$，则$a_{15}=-1+14×3=41$，选B。
解法二：$d=\frac {a_{10}-a_{5}}{10-5}=\frac {26-11}{5}=3$，$a_{15}=a_{10}+5d=26+15=41$，选B。
(3)由$a_{k+2}+a_{k}=4k+3$，得$a_{k+4}+a_{k+2}=4(k+1)+3$，两式相减得$a_{k+4}-a_{k}=4$，所以奇数项、偶数项均为公差为4的等差数列。$a_{2020}=a_{2}+(1010-1)×4=a_{2}+4036$，又当$k=1$时，$a_{3}+a_{1}=7$，$a_{1}+a_{2020}=a_{1}+a_{2}+4036=7+4036=4043$，选B。