《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

1. 重要不等式：$a^2 + b^2 \geq 2ab$（$a,b \in \mathbf{R}$），证明该不等式。

答案： 证法一：$\forall a,b \in \mathbf{R}$，$(a - b)^2 \geq 0$，当且仅当$a = b$时等号成立，展开得$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$，$\therefore a^2 + b^2 \geq 2ab$。
证法二：图中两个大正方形面积均为$(a + b)^2$，8个直角三角形面积和为$8×\frac{1}{2}ab = 4ab$。当$a \neq b$时，$(a + b)^2 ＞ 4ab$即$a^2 + b^2 ＞ 2ab$；当$a = b$时，$(a + b)^2 = 4ab$即$a^2 + b^2 = 2ab$，综上$a^2 + b^2 \geq 2ab$。

2. 基本不等式：如果$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，那么$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当$a = b$时等号成立，证明该不等式。

答案： 要证$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，只需证$2\sqrt{ab} \leq a + b$，即证$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$，该式显然成立，当且仅当$a = b$时等号成立，故$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$。