《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例20 已知$f(x)=x^{5}+ax^{3}+bx - 8$，且$f(-2)=10$，求$f(2)$。

答案： -26
解析：令$g(x)=x^{5}+ax^{3}+bx$，则$g(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，$f(x)=g(x)-8$。由$f(-2)=g(-2)-8=10$，得$g(-2)=18$，所以$g(2)=-g(-2)=-18$，则$f(2)=g(2)-8=-18 - 8=-26$。

例21 (1)$f(x)=ax^{2}+bx - 4a$是偶函数，其定义域为$[a - 1,-2a]$，则$a + b$等于（ ）
A.1 B.-1 C.$\frac{1}{3}$ D.0
(2)已知函数$f(x)=\frac{x^{2}+1}{ax + b}$是其定义域内的奇函数，且$f(1)=2$，则$f(x)=$___。

答案：
(1)B
解析：因为$f(x)$是偶函数，定义域关于原点对称，所以$a - 1 + (-2a)=0$，解得$a=-1$，定义域为$[-2,2]$。$f(x)=-x^{2}+bx + 4$，由$f(-x)=f(x)$得$-x^{2}-bx + 4=-x^{2}+bx + 4$，所以$b=0$，则$a + b=-1$。
(2)$\frac{x^{2}+1}{x}$
解析：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$，即$\frac{x^{2}+1}{-ax + b}=-\frac{x^{2}+1}{ax + b}$，解得$b=0$。又$f(1)=2$，即$\frac{1 + 1}{a}=2$，解得$a=1$，所以$f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}$。

例22 $\forall x\in[1,+\infty)$，不等式$x^{2}+ax + 9＞0$恒成立，则实数$a$的取值范围为_______。

答案： $(-6,+\infty)$
解析：不等式变形为$a＞-\left(x+\frac{9}{x}\right)$。因为$y=x+\frac{9}{x}$在$[1,3]$上单调递减，在$[3,+\infty)$上单调递增，所以在$x=3$处取得最小值$6$，则$-\left(x+\frac{9}{x}\right)$的最大值为$-6$，所以$a＞-6$，取值范围为$(-6,+\infty)$。