《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例3 已知实数x，y满足-4≤x - y≤-1，-1≤4x - y≤5，则z=9x - y的取值范围是（ ）
A.{z|-7≤z≤26}
B.{z|4≤z≤15}
C.{z|-1≤z≤20}
D.{z|1≤z≤15}

答案： C
解析：设z=9x - y=m(x - y)+n(4x - y)，则$\begin{cases}m + 4n=9\\m + n=1\end{cases}$，解得$m=-\frac{5}{3},n=\frac{8}{3}$，所以$z=-\frac{5}{3}(x - y)+\frac{8}{3}(4x - y)$。由-4≤x - y≤-1得$\frac{5}{3}≤-\frac{5}{3}(x - y)≤\frac{20}{3}$，由-1≤4x - y≤5得$-\frac{8}{3}≤\frac{8}{3}(4x - y)≤\frac{40}{3}$，两式相加得-1≤z≤20，故选C。

例4 已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a - b与$\frac{a}{b}$的取值范围.

答案： -24＜a - b＜45，$\frac{1}{3}＜\frac{a}{b}＜4$
解析：由15＜b＜36得-36＜-b＜-15，又12＜a＜60，所以12 - 36＜a - b＜60 - 15，即-24＜a - b＜45；由15＜b＜36得$\frac{1}{36}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{15}$，又12＜a＜60，所以$\frac{12}{36}＜\frac{a}{b}＜\frac{60}{15}$，即$\frac{1}{3}＜\frac{a}{b}＜4$。