《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例3 如图,在正四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,E,F,G,H分别为棱$A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},AB,BC$的中点.
(1)证明E,F,G,H四点共面；
(2)证明GE,FH,$BB_{1}$交于一点.

答案：
(1)证明：连接$AC,A_{1}C_{1}$,如图所示,因为四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$为正四棱台,所以$A_{1}C_{1}// AC$,又E,F,G,H分别为棱$A_{1}B_{1},B_{1}C_{1},AB,BC$的中点,所以$EF// A_{1}C_{1},GH// AC$,则$EF// GH$,所以E,F,G,H四点共面.
(2)证明：因为$A_{1}C_{1}≠AC$,所以$EF≠GH$,所以四边形EFHG为梯形,则EG与FH必相交.设$EG\cap FH=P$,因为$EG\subset$平面$AA_{1}B_{1}B$,所以$P∈$平面$AA_{1}B_{1}B$,因为$FH\subset$平面$BB_{1}C_{1}C$,所以$P∈$平面$BB_{1}C_{1}C$,又平面$AA_{1}B_{1}B\cap$平面$BB_{1}C_{1}C=BB_{1}$,所以$P∈BB_{1}$,所以GE,FH,$BB_{1}$交于一点.

例4 如图1,在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中,O为AC,BD的交点,P,Q分别为$\triangle SAD,\triangle SBC$的重心.求证:S,P,O,Q四点共面.

答案： 证明：如图2,连接SP,SQ并延长,分别交AD,BC于点M,N,连接MN.因为P,Q分别为$\triangle SAD,\triangle SBC$的重心,所以M,N分别为AD,BC的中点,所以$O∈MN$.由棱锥的性质,可知S,M,N不共线,故这三个点可以确定一个平面SMN,所以$MN\subset$平面SMN,所以$O∈$平面SMN.又$P∈SM,Q∈SN,SM\subset$平面SMN,$SN\subset$平面SMN,所以$P∈$平面SMN,$Q∈$平面SMN,所以S,P,O,Q四点共面.