《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例3 如图,四棱锥P-ABCD中,$AD// BC$,$AD=3,BC=4$,M为线段AD上一点,$AM=2MD$,N为PC的中点.证明:$MN//$平面PAB.

答案： 证明：证法一（利用线面平行的判定定理证明）：由已知得$AM=\frac {2}{3}AD=2$,如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知$TN// BC$,$TN=\frac {1}{2}BC=2$.又$AD// BC$,$AM=2$,故$TN\underline {\underline {// }}AM$,故四边形AMNT为平行四边形,所以$MN// AT$.因为$AT\subset$平面PAB,$MN\not\subset$平面PAB,所以$MN//$平面PAB.
证法二（利用面面平行的性质证明）：取BC的中点Q,连接MQ,NQ(图略),易证得$MQ// AB$,$NQ// PB$,又$MQ\cap NQ=Q$,$AB\cap PB=B$,所以平面$MQN//$平面PAB,因为$MN\subset$平面MQN,所以$MN//$平面PAB.
证法三（利用线面平行的判定定理证明）：如图,连接CM并延长,与BA的延长线交于H,连接PH,易知$AM// BC$,且$AM=\frac {1}{2}BC$,所以M为CH的中点,又N为PC中点,所以$MN// PH$,因为$MN\not\subset$平面PAB,$PH\subset$平面PAB,所以$MN//$平面PAB.