《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

1. 在平行四边形OACB中,$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$与$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$分别表示平行四边形OACB对角线OC,BA的长.
a. 若$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$,即$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$,则平行四边形OACB为菱形,且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$,$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$.
b. 若$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$,即$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{BA}|$,则平行四边形OACB为菱形,且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的夹角都为$\frac{\pi}{3}$.
c. 若$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}|$,即$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{BA}|=2|\overrightarrow{OA}|$,则平行四边形OACB为矩形,且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{2}$,$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$,$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$.
例1 若非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{b}|$,则$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$的夹角是__________.

答案： $\frac{\pi}{3}$
解析:设平行四边形ABCD中,$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$.由$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{b}|$知四边形为矩形,且$AC=2AD$.设$AD=|\boldsymbol{b}|=1$,则$AC=2$,$AB=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{3}$.所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}$,$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\overrightarrow{DB}$,在$Rt\triangle ABD$中,$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{AB}{AD}=\sqrt{3}$,则$\angle CAD=\frac{\pi}{3}$,即夹角为$\frac{\pi}{3}$.

2. $\left|\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\right|$表示△OAB的边AB上的中线长,$\left|\frac{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}{2}\right|$表示△OAB的边AB长度的一半,那么$\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB}=$______.

答案： $\left(\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\right)^2-\left(\frac{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}{2}\right)^2$
解析:$\left(\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\right)^2-\left(\frac{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}[(\overrightarrow{OA}^2+2\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}^2)-(\overrightarrow{OA}^2-2\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}^2)]=\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB}$.

例2 已知正方形ABCD的边长为2,圆O内切于正方形ABCD,MN为圆O的一条动直径,点P为正方形ABCD边界上任一点,则$\overrightarrow{PM}· \overrightarrow{PN}$的取值范围是__________.

答案： $[0,1]$
解析:连接PO,则$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM}$,$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{ON}$.因为MN为直径,所以$\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{ON}$,且$|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{ON}|=1$.则$\overrightarrow{PM}· \overrightarrow{PN}=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OM})· (\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{OM})=|\overrightarrow{PO}|^2-|\overrightarrow{OM}|^2=|\overrightarrow{PO}|^2-1$.正方形内切圆半径为1,圆心O为中心,点P在边界上时$|\overrightarrow{PO}|$范围为$[1,\sqrt{2}]$,所以$|\overrightarrow{PO}|^2-1\in[0,1]$.