《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例9 已知正三棱锥S-ABC的棱长都为2,则侧面和底面所成二面角的余弦值为__________.

答案： 1/3
解析：过点S作SO⊥底面ABC，垂足为O，连接OA，OB，OC，
则OA=OB=OC，即点O为等边三角形ABC的中心，
延长AO交BC于点D，连接SD，
则AD⊥BC，BC⊥SD，
所以∠ODS为侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角，
由正三棱锥S-ABC的棱长都为2，
得AD=√3，OD=1/3AD=√3/3，SD=√(SB²-BD²)=√3，
在Rt△SOD中，cos∠ODS=OD/SD=(√3/3)/√3=1/3。

例10 如图1,在三棱锥P-ABC中,∠ABC=∠PBC=90°,△PAB是边长为1的正三角形,若BC=1,M是PC的中点,则点M到直线AB的距离是__________.

答案： √7/4
解析：因为∠ABC=∠PBC=90°，
所以BC⊥AB，BC⊥PB，
又AB∩PB=B，
所以BC⊥平面PAB，
取PB的中点Q，连接MQ，
因为M是PC的中点，
所以MQ//BC且MQ=1/2BC=1/2，
所以MQ⊥平面PAB，
作QN⊥AB于N，
则MQ⊥QN，
连接MN，则MN⊥AB，
MN的长即是点M到直线AB的距离，
在Rt△MQN中，MQ=1/2，
QN=QB·sin60°=(1/2)×(√3/2)=√3/4，
所以MN=√(MQ²+QN²)=√((1/2)²+(√3/4)²)=√7/4。