《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例14 求圆心在直线$x - y - 4=0$上，且经过两圆$x^{2}+y^{2}-4x - 6=0$和$x^{2}+y^{2}-4y - 6=0$的交点的圆的方程.

答案： $x^{2}+y^{2}-6x + 2y - 6=0$
解析：设所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4x - 6+\lambda(x^{2}+y^{2}-4y - 6)=0(\lambda\neq - 1)$，
化简得$x^{2}+y^{2}-\frac{4}{1+\lambda}x-\frac{4\lambda}{1+\lambda}y - 6=0$，圆心坐标为$\left(\frac{2}{1+\lambda},\frac{2\lambda}{1+\lambda}\right)$。
因为圆心在直线$x - y - 4=0$上，所以$\frac{2}{1+\lambda}-\frac{2\lambda}{1+\lambda}-4=0$，解得$\lambda=-\frac{1}{3}$。
代入圆的方程得$x^{2}+y^{2}-6x + 2y - 6=0$。

例15 如图所示，在平面直角坐标系$Oxy$中，点$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$P$是圆$O:x^{2}+y^{2}=4$上任意一点（且不在$x$轴上），过点$B$作直线$BT\perp AP$于点$T$，则$2|PA| + 3|PT|$的最小值是（ ）
A.$6\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： A
解析：由$BT\perp AP$，知点$T$的轨迹是以$AB$为直径的圆$x^{2}+y^{2}=1$。
过$P$作该圆切线$PC$，$|PC|=\sqrt{|OP|^{2}-|OC|^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
由切割线定理，$|PC|^{2}=|PA|·|PT|=3$，则$|PT|=\frac{3}{|PA|}$。
$2|PA| + 3|PT|=2|PA|+\frac{9}{|PA|}\geq2\sqrt{2|PA|·\frac{9}{|PA|}}=6\sqrt{2}$，当且仅当$2|PA|=\frac{9}{|PA|}$，即$|PA|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$时取等号，故选A。