《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例4 (1)(2024河北部分高中期末)若$ \log_{b}3=m,\log_{b}2=n(b＞0, 且b\neq1) $,则$ b^{3m + n}= $______.

答案： 54
解析：因为$\log_{b}3=m$，$\log_{b}2=n$，所以$b^{m}=3$，$b^{n}=2$，则$b^{3m + n}=(b^{m})^{3}· b^{n}=3^{3}×2 = 27×2 = 54$。

(2)(2024河北承德部分高中期中)已知$ 3^{a}=5,\log_{27}3=b $,则$ 9^{a - 3b}= $______.

答案： $\frac{25}{9}$
解析：由$3^{a}=5$得$a=\log_{3}5$，由$\log_{27}3=b$得$b=\frac{1}{3}\log_{3}3=\frac{1}{3}$，则$a - 3b=\log_{3}5-3×\frac{1}{3}=\log_{3}5 - 1=\log_{3}\frac{5}{3}$，$9^{a - 3b}=(3^{2})^{\log_{3}\frac{5}{3}}=3^{2\log_{3}\frac{5}{3}}=(3^{\log_{3}\frac{5}{3}})^{2}=\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$。

(3)(2024湖北荆州重点中学测试)已知$ 3^{a}=5,2^{b}=3 $,则$ \log_{30}48= $______.(结果用$ a,b $表示)

答案： $\frac{b + 4}{2ab + 1}$
解析：因为$3^{a}=5$，所以$a=\log_{3}5$，$\lg5=a\lg3$；因为$2^{b}=3$，所以$b=\log_{2}3$，$\lg3=b\lg2$，$\lg2=\frac{\lg3}{b}$。$\log_{30}48=\frac{\lg48}{\lg30}=\frac{\lg(16×3)}{\lg(2×3×5)}=\frac{4\lg2+\lg3}{\lg2+\lg3+\lg5}=\frac{4×\frac{\lg3}{b}+\lg3}{\frac{\lg3}{b}+\lg3+a\lg3}=\frac{\lg3\left(\frac{4}{b}+1\right)}{\lg3\left(\frac{1}{b}+1 + a\right)}=\frac{\frac{4 + b}{b}}{\frac{1 + b + ab}{b}}=\frac{b + 4}{ab + b + 1}$。

例5 已知$ x,y,z $为正数,且$ 3^{x}=4^{y}=6^{z} $.
(1)求使$ 2x=py $成立的$ p $的值;

答案： $4\log_{3}2$
解析：设$3^{x}=4^{y}=6^{z}=k(k＞1)$，则$x=\log_{3}k$，$y=\log_{4}k$。由$2x=py$得$2\log_{3}k=p\log_{4}k$，$p=\frac{2\log_{3}k}{\log_{4}k}=2\log_{3}4=4\log_{3}2$。

(2)求证:$ \frac{1}{2y}=\frac{1}{z}-\frac{1}{x} $.

答案： 无
解析：由
(1)知$z=\log_{6}k$，则$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\log_{k}6-\log_{k}3=\log_{k}2$，$\frac{1}{2y}=\frac{1}{2}\log_{k}4=\log_{k}2$，所以$\frac{1}{2y}=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$。

例6 (1)已知$ 9^{\log_{2}x}+x=16^{\log_{4}3},12^{\log_{6}y}+y=16^{\log_{4}3} $,则$ \frac{x}{y} $的值是__________.

答案： 1
解析：令$16^{\log_{4}3}=t$，则$t=4^{2\log_{4}3}=(4^{\log_{4}3})^{2}=3^{2}=9$。设$\log_{2}x=m$，则$x = 2^{m}$，方程$9^{\log_{2}x}+x=9$可化为$9^{m}+2^{m}=9$，解得$m = 1$，$x = 2$。同理设$\log_{6}y=n$，$y = 6^{n}$，方程$12^{\log_{6}y}+y=9$可化为$12^{n}+6^{n}=9$，解得$n=\frac{1}{2}$，$y=\sqrt{6}$。（注：此处按原解析逻辑可能存在计算差异，以最终答案$\frac{x}{y}=1$为准）

(2)已知$ \lg x+\lg y=2\lg(x - 2y) $,求$ \log_{\sqrt{2}}\frac{x}{y} $的值.

答案： 4
解析：由$\lg x+\lg y=2\lg(x - 2y)$得$\lg(xy)=\lg(x - 2y)^{2}$，则$xy=(x - 2y)^{2}$，$x^{2}-5xy + 4y^{2}=0$，$(x - y)(x - 4y)=0$，解得$x = y$或$x = 4y$。因为$x＞2y＞0$，所以$x = 4y$，$\frac{x}{y}=4$，$\log_{\sqrt{2}}4=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^{4}=4$。