《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例7 已知$a,b,c \in (0, +\infty)$且$a + b + c = 1$，试比较$a^2 + b^2 + c^2$，$ab + bc + ac$，$\frac{1}{3}$的大小。

答案： $a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3} \geq ab + bc + ac$
解析：由重要不等式，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，$a^2 + c^2 \geq 2ac$，$b^2 + c^2 \geq 2bc$，相加得$2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 2(ab + bc + ac)$，即$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$。又$(a + b + c)^2 = 1 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)$，$\therefore a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}$；同时$1 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) \geq 3(ab + bc + ac)$，$\therefore ab + bc + ac \leq \frac{1}{3}$，综上得证。

例8 已知$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$z ＞ 0$，求证：$(\frac{y}{x} + \frac{z}{x})(\frac{x}{y} + \frac{z}{y})(\frac{x}{z} + \frac{y}{z}) \geq 8$

答案： 证明：$\because x,y,z ＞ 0$，$\frac{y}{x} + \frac{z}{x} \geq 2\sqrt{\frac{yz}{x^2}} = \frac{2\sqrt{yz}}{x}$，同理$\frac{x}{y} + \frac{z}{y} \geq \frac{2\sqrt{xz}}{y}$，$\frac{x}{z} + \frac{y}{z} \geq \frac{2\sqrt{xy}}{z}$。三式相乘得$(\frac{y}{x} + \frac{z}{x})(\frac{x}{y} + \frac{z}{y})(\frac{x}{z} + \frac{y}{z}) \geq 8\sqrt{\frac{y^2z^2x^2}{x^2y^2z^2}} = 8$，当且仅当$x = y = z$时等号成立，故不等式成立。

例9（2024陕西榆林十校联考）已知正数$a,b,c$满足$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2$，证明：$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{a + 2c} + \frac{1}{b + c} ＜ \frac{3}{4}$

答案： 证明：$\because a,b,c ＞ 0$，由基本不等式，$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{b + c}$（当且仅当$b = c$时等号成立），$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{8}{a + 2b}$（当且仅当$a = 2b$时等号成立），$\frac{2}{a} + \frac{1}{c} \geq \frac{8}{a + 2c}$（当且仅当$a = 2c$时等号成立）。相加得$\frac{4}{a + 2b} + \frac{4}{a + 2c} + \frac{4}{b + c} \leq 2(\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 4$，两边同除以4得$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{a + 2c} + \frac{1}{b + c} \leq 1$，又等号不同时成立，故$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{a + 2c} + \frac{1}{b + c} ＜ \frac{3}{4}$。

试比较$a^{2}+b^{2}+c^{2},ab+bc+ac,\frac {1}{3}$的大小.

答案： $a^{2}+b^{2}+c^{2}≥\frac {1}{3}≥ab+bc+ac$
解析：$\because a^{2}+b^{2}≥2ab,a^{2}+c^{2}≥2ac,b^{2}+c^{2}≥2bc$，当且仅当$a = b = c$时，等号成立，$\therefore 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})≥2ab + 2ac + 2bc$①，
$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}≥ab + bc + ac$②.
①式两边分别加上$a^{2}+b^{2}+c^{2}$，
得$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})≥2ab + 2ac + 2bc + a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}=1$，$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}≥\frac {1}{3}$.
②式两边分别加上$2ab + 2ac + 2bc$，
得$3(ab + bc + ac)≤a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2bc + 2ac=(a + b + c)^{2}=1$，$\therefore ab + bc + ac≤\frac {1}{3}$.
综上，$a^{2}+b^{2}+c^{2}≥\frac {1}{3}≥ab + bc + ac$.