《2026年知识清单高中数学必修+选择性必修》

例1 (2023新课标Ⅱ)已知$\alpha$为锐角,$\cos\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$,则$\sin\frac{\alpha}{2}=$( )
A.$\frac{3-\sqrt{5}}{8}$
B.$\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$
C.$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
D.$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

答案： D
解析：因为$\alpha$为锐角,所以$\frac{\alpha}{2}$为锐角,故由半角公式得$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{16}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.故选D.

例2 已知$\sin\theta=\frac{4}{5}$,$\frac{5\pi}{2}＜\theta＜3\pi$,求$\cos\frac{\theta}{2}$和$\tan\frac{\theta}{2}$的值.

答案： 解析：因为$\sin\theta=\frac{4}{5}$,$\frac{5\pi}{2}＜\theta＜3\pi$,所以$\cos\theta=-\sqrt{1-\sin^2\theta}=-\frac{3}{5}$.又$\frac{5\pi}{4}＜\frac{\theta}{2}＜\frac{3\pi}{2}$,所以$\cos\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}{1+\left(-\frac{3}{5}\right)}}=2$.