《2026年决胜中考数学安徽专版》

1. （2025·安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，$\angle DAB + 2\angle ABC = 180^{\circ}$.
（1）求证：$OC// AD$；
（2）若$AD = 2$，$BC = 2\sqrt{3}$，求AB的长.

答案：
1.
(1)证明：
∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB + 2∠ABC = 180°，
∴∠DAB + ∠AOC = 180°，
∴OC//AD。
(2)解：连接BD，交OC于点E。由题意知，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，即AD⊥BD。
∵OC//AD，
∴OC⊥BD，
∴点E为BD的中点。又
∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE = $\frac{1}{2}$AD = 1。设半圆的半径为r，则CE = r - 1。由勾股定理知，OB² - OE² = BE² = BC² - CE²，即r² - 1 = (2$\sqrt{3}$)² - (r - 1)²，解得r₁ = 3，r₂ = -2 (舍去)，
∴AB = 2r = 6。
　　　　　　　　　　

2. （2024·安徽）如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，D是直径AB上一点，$\angle ACD$的平分线交AB于点E，交$\odot O$于另一点F，$FA = FE$.
（1）求证：$CD\perp AB$；
（2）设$FM\perp AB$，垂足为M，若$OM = OE = 1$，求AC的长.

答案： 2.
(1)证明：
∵FA = FE，
∴∠FAE = ∠AEF。又
∵∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角，
∴∠FAE = ∠BCE。
∵∠AEF = ∠CEB，
∴∠CEB = ∠BCE。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠DCE。
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠CEB + ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE = ∠ACB = 90°，故∠CDE = 90°，即CD⊥AB。
(2)解：由
(1)知∠CEB = ∠BCE，
∴BE = BC。又
∵FA = FE，FM⊥AB，
∴MA = ME = MO + OE = 2，
∴AE = 4，
∴圆的半径OA = OB = AE - OE = 3，
∴BE = BC = OB - OE = 2。在Rt△ABC中，AB = 2OA = 6，BC = 2，
∴AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}-2^{2}}$ = 4$\sqrt{2}$，即AC的长为4$\sqrt{2}$。

3. （2021·安徽）如图，圆O的半径为1，$\triangle ABC$内接于圆O. 若$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 75^{\circ}$，则$AB=$_.$\sqrt{2}$

答案：
3.$\sqrt{2}$　[解析]如图，连接OA，OB。在△ABC中，∠BAC = 60°，∠ABC = 75°，
∴∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 45°，
∴∠AOB = 2∠ACB = 90°。
∵OA = OB = 1，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB = $\sqrt{2}$OA = $\sqrt{2}$。
　　　　　　　　　　　　

4. （2019·安徽）如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，$\angle CBA = 45^{\circ}$，$CD\perp AB$于点D，若$\odot O$的半径为2，则CD的长为_.$\sqrt{2}$

答案：
4.$\sqrt{2}$　[解析]连接CO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠E = ∠A = 30°，∠EBC = 90°。
∵⊙O的半径为2，
∴CE = 4，
∴BC = $\frac{1}{2}$CE = 2。
∵CD⊥AB，∠CBA = 45°，
∴CD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC = $\sqrt{2}$。
　　　　　　　　　　

5. （2023·安徽）已知四边形ABCD内接于$\odot O$，对角线BD是$\odot O$的直径.
（1）如图1，连接OA，CA，若$OA\perp BD$，求证：CA平分$\angle BCD$；
（2）如图2，E为$\odot O$内一点，满足$AE\perp BC$，$CE\perp AB$，若$BD = 3\sqrt{3}$，$AE = 3$，求弦BC的长.

答案： 5.
(1)证明：
∵对角线BD是⊙O的直径，OA⊥BD，
∴AB = AD，
∴∠BCA = ∠DCA，
∴CA平分∠BCD。
(2)解：
∵对角线BD是⊙O的直径，
∴∠BAD = ∠BCD = 90°，
∴DC⊥BC，DA⊥AB。
∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴DC//AE，DA//CE，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴DC = AE = 3。又
∵BD = 3$\sqrt{3}$，
∴BC = $\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-3^{2}}$ = 3$\sqrt{2}$。