《2026年决胜中考数学安徽专版》

典例1 (2025·合肥校级二模)
在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(0,1)$，$B(2,2)$，下列函数图象中，与线段$AB$没有公共点的是(C)

A.$y = 5x$
B.$y = -x + 4$
C.$y = \frac{5}{x}$
D.$y = -x^2 + 4$

答案： [解析] 利用数形结合的思想，画出图象，进行判断即可。由题意，作图如下：
由图可知只有反比例函数$y = \frac{5}{x}$与线段$AB$没有交点，故选C。
[答案] C

典例2
$O$为坐标原点，点$P$，$Q$，$R$在函数$y = \frac{k}{x}$(常数$k ＞ 0$，$x ＞ 0$)图象上的位置如图所示，分别过这三个点作$x$轴、$y$轴的平行线，若$OE = ED = DC$，且图中阴影部分图形的面积为$12$，则$k$的值为(B)

A.$6$
B.$9$
C.$12$
D.$18$

答案： [解析] 通过设辅助变量，得到有关的点的坐标，再利用“面积”列方程、求解。设$OE = ED = DC = m$，则$P(\frac{k}{3m}, 3m)$，$Q(\frac{k}{2m}, 2m)$，$R(\frac{k}{m}, m)$，$\therefore CP = \frac{k}{3m}$，$DQ = \frac{k}{2m}$，$ER = \frac{k}{m}$。$\because$图中阴影部分图形的面积为$12$，$\therefore \frac{k}{3m} × m + (\frac{k}{2m} - \frac{k}{3m}) × 3m + (\frac{k}{m} - \frac{k}{2m}) × m = 12$，解得$k = 9$。
[答案] B

典例3
如图，已知反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$与一次函数$y = k_2x + b$的图象交于点$A(1,8)$，$B(-4,m)$。

(1)求$k_1$，$k_2$，$b$的值；
(2)求$\triangle AOB$的面积；
(3)若$M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$是反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$图象上的两点，且$x_1 ＜ x_2$，$y_1 ＜ y_2$，指出点$M$，$N$各位于哪个象限，并简要说明理由。

答案：
[解析]
(1)先把$A$点坐标代入$y = \frac{k_1}{x}$可求得$k_1$，再把$B(-4,m)$代入反比例函数求得$m$，得到$B$点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得$k_2$与$b$。
(2)设一次函数$y = k_2x + b$的图象与$y$轴的交点为$C$，求$S_{\triangle AOB}$就转化为求$\triangle AOC$与$\triangle BOC$的面积之和。
(3)根据反比例函数的性质即可得到结果。
[答案] 解：
(1)将点$A(1,8)$代入反比例函数$y = \frac{k_1}{x}$，得$k_1 = 8$，故$B(-4,-2)$。由$A$，$B$两点在一次函数$y = k_2x + b$的图象上，得$\begin{cases}8 = k_2 + b\\ -2 = -4k_2 + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = 2\\ b = 6\end{cases}$。

(2)如图，由
(1)知一次函数$y = k_2x + b$的图象与$y$轴的交点坐标为$C(0,6)$，$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 6 × 4 + \frac{1}{2} × 6 × 1 = 15$。
(3)点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。理由：由图象知双曲线$y = \frac{8}{x}$在第一、三象限内，因此应对$x_1 ＜ x_2$分情况讨论：①若$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，点$M$，$N$在第三象限分支上，则$y_1 ＞ y_2$，不合题意；②若$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，点$M$，$N$在第一象限分支上，则$y_1 ＞ y_2$，不合题意；③若$x_1 ＜ 0 ＜ x_2$，点$M$在第三象限，点$N$在第一象限，则$y_1 ＜ 0 ＜ y_2$，符合题意，$\therefore$点$M$在第三象限，点$N$在第一象限。