《2026年决胜中考数学安徽专版》

7. （2023·安徽）
【观察思考】

【规律发现】
请用含$n$的式子填空：
(1)第$n$个图案中“◎”的个数为3n；
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$，第2个图案中“★”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$，第3个图案中“★”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$，第4个图案中“★”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$……
第$n$个图案中“★”的个数可表示为___；
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数$n$，使得连续的正整数之和$1 + 2 + 3+·s + n$等于第$n$个图案中“◎”的个数的2倍。

答案：
(1)3n
(2)$\frac{n×(n+1)}{2}$
(3)解：依题意,有$1+2+3+·s+n=\frac{n(n+1)}{2}$,第n个图案中有$3n$个◎,$\therefore\frac{n(n+1)}{2}=3n×2$,解得$n=0$(舍去)或$n=11$.