《2026年决胜中考数学安徽专版》

1.(2021·安徽)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形$AEFD$为矩形，点$B$，$C$分别在$EF$，$DF$上，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BAD = 53^{\circ}$，$AB = 10\ cm$，$BC = 6\ cm$.求零件的截面面积.（参考数据：$\sin53^{\circ}\approx0.80$，$\cos53^{\circ}\approx0.60$）

答案：
1. 解：如图，
∵四边形AEFD为矩形，∠BAD = 53°，
∴EF//AD，∠EFD = 90°，
∴∠EBA = 53°.
∵∠ABC = 90°，
∴∠EBA + ∠FBC = 90°.
∵∠EFD = 90°，
∴∠FBC + ∠BCF = 90°，
∴∠EBA = ∠BCF = 53°.
在Rt△ABE中，AB = 10cm，sin53° = $\frac{AE}{AB}$≈0.80，
∴AE = AB·sin53° = 8(cm).
又cos53° = $\frac{BE}{AB}$≈0.60，
∴BE = AB·cos53° = 6(cm).
同理可得BF = BC·sin53° = $\frac{24}{5}$(cm)，
CF = BC·cos53° = $\frac{18}{5}$(cm).
∴S四边形ABCD = S矩形AEFD - S△ABE - S△BCF
= 8×(6 + $\frac{24}{5}$) - $\frac{1}{2}$×8×6 - $\frac{1}{2}$×$\frac{24}{5}$×$\frac{18}{5}$
= 53.76(cm²).
∴零件的截面面积为53.76cm².

2.(2020·安徽)如图1，已知四边形$ABCD$是矩形，点$E$在$BA$的延长线上，$AE = AD$，$EC$与$BD$相交于点$G$，与$AD$相交于点$F$，$AF = AB$.
(1)求证：$BD\perp EC$；
(2)若$AB = 1$，求$AE$的长；
(3)如图2，连接$AG$，求证：$EG - DG = \sqrt{2}AG$.

答案：
2.
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = ∠EAD = 90°，AD = BC，AD//BC.
在△EAF和△DAB中，
$\begin{cases}AE = AD \\∠EAF = ∠DAB \\AF = AB\end{cases}$
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E = ∠BDA.
∵∠BDA + ∠ABD = 90°，
∴∠E + ∠ABD = 90°，
∴∠EGB = 90°，
∴BD⊥EC.
(2) 解：设AE = x，则EB = 1 + x，BC = AD = AE = x.
∵AF//BC，∠E = ∠E，
∴△EAF∼△EBC，
∴$\frac{EA}{EB}=\frac{AF}{BC}$.
又AF = AB = 1，
∴$\frac{x}{1 + x}=\frac{1}{x}$，即x² - x - 1 = 0，
解得x = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，x = $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$（舍去）
∴AE = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
(3) 证明：在EG上截取EH = DG，连接AH.
在△EAH和△DAG中，
$\begin{cases}AE = AD \\∠HEA = ∠GDA \\EH = DG\end{cases}$
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH = ∠DAG，AH = AG.
∵∠EAH + ∠DAH = 90°，
∴∠DAG + ∠DAH = 90°，
∴∠HAG = 90°，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴AH² + AG² = GH²，即2AG² = GH².
∵GH = EG - EH = EG - DG，
∴EG - DG = $\sqrt{2}$AG.

3.(2017·安徽)如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 3$.动点$P$满足$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$，则点$P$到$A$，$B$两点距离之和$PA + PB$的最小值为 ()

A.$\sqrt{29}$
B.$\sqrt{34}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$\sqrt{41}$

答案：
3. D [解析]设点P到AB的距离为h，由S△PAB = $\frac{1}{3}$S矩形ABCD，
得$\frac{1}{2}$×5h = $\frac{1}{3}$×5×3，解得h = 2.
如图，在AD，BC上分别取AE = BF = 2，连接EF，则动点P在EF上运动，作点B关于EF的对称点B'，BB' = 4.
连接AB'交EF于点P，此时PA + PB最小，
根据勾股定理，PA + PB的最小值为AB' = $\sqrt{5² + 4²}$ = $\sqrt{41}$.

4.(2025·内蒙古)如图，$ABCD$是一个矩形草坪，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$H$是$BC$边的中点，连接$OH$，且$OH = 20\ m$，$AD = 30\ m$，则该草坪的面积为 ()

A.$2400\ m^2$
B.$1800\ m^2$
C.$1200\ m^2$
D.$600\ m^2$

答案： 4. C [解析]由题意知点O是AC的中点.
又
∵H是BC边的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AB = 2OH = 40m，
∴S矩形ABCD = AB·AD = 40×30 = 1200(m²).

5.(2025·辽宁)如图，在矩形$ABCD$中，点$E$在边$AD$上，$BE = BC$，连接$CE$，若$AB = 3$，$AE = 4$，则$CE$的长为 ()

A.1
B.5
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$

答案： 5. D [解析]
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD = AB = 3，AD = BC，∠A = 90°，
∴BC = BE = $\sqrt{AB² + AE²}$ = $\sqrt{3² + 4²}$ = 5，
∴AD = 5，
∴DE = 5 - 4 = 1.
在Rt△CDF中，CE = $\sqrt{DE² + CD²}$ = $\sqrt{1² + 3²}$ = $\sqrt{10}$.

6.(2025·河北)如图，将矩形$ABCD$沿对角线$BD$折叠，点$A$落在$A'$处，$A'D$交$BC$于点$E$.将$\triangle CDE$沿$DE$折叠，点$C$落在$\triangle BDE$内的$C'$处，下列结论一定正确的是 ()

A.$\angle1 = 45^{\circ}-\alpha$
B.$\angle1=\alpha$
C.$\angle2 = 90^{\circ}-\alpha$
D.$\angle2 = 2\alpha$

答案：
6. D [解析]观察各选项，均为用含α的式子表示∠1或∠2，故审题时围绕∠1，∠2和α进行角的转化.审题后，将获取的信息标记出来，如下图.
由上可知，∠1 + α + ∠1 = 90°，
∴∠1 = $\frac{1}{2}$(90° - α) = 45° - $\frac{1}{2}$α，故选项A错误.
∵四边形的内角和为360°，∠C' = ∠C = 90°，
∴∠C'EC + ∠C'DC = 180°.
又
∵∠2 + ∠C'EC = 180°，
∴∠2 = ∠C'DC = 2α，故选项D正确.