《2026年决胜中考数学安徽专版》

5. (2025·福建)已知点 $ A(-2, y_1) $，$ B(1, y_2) $ 在抛物线 $ y = 3x^2 + bx + 1 $ 上，若 $ 3 ＜ b ＜ 4 $，则下列判断正确的是(A)

A.$ 1 ＜ y_1 ＜ y_2 $
B.$ y_1 ＜ 1 ＜ y_2 $
C.$ 1 ＜ y_2 ＜ y_1 $
D.$ y_2 ＜ 1 ＜ y_1 $

答案： 5. A

6. (2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + a - 3 $($ a \neq 0 $)的图象与 $ x $ 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 $ y $ 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(D)

A.图象的开口向下
B.当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大
C.函数的最小值小于 $ -3 $
D.当 $ x = 2 $ 时，$ y ＜ 0 $

答案： 6. D

7. (2025·广东)已知二次函数 $ y = -x^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ (c, 0) $，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 $y = - x^{2}+x + 2$(答案不唯一)。(写出一个即可)

答案： 7.$y = - x^{2}+x + 2$(答案不唯一)

8. （2025·连云港改编）已知二次函数 $ y = x^2 + 2(a + 1)x + 3a^2 - 2a + 3 $，$ a $ 为常数。
（1）若该二次函数的图象与直线 $ y = 2a^2 $ 有两个交点，求 $ a $ 的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与 $ x $ 轴有交点，求 $ a $ 的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点；
（4）涵涵说：二次函数的图象的顶点在 $ y = 2(x + 2)^2 $ 上运动；琳琳说：当二次函数与一次函数 $ y = x + k $ 的图象有且只有一个交点时，$ k $ 的最小值为 $ \frac{13}{8} $；请选择其中一人的说法判断是否正确。

答案： 8.
(1)解：$\because$在二次函数$y = x^{2}+2(a + 1)x + 3a^{2}-2a + 3$中，$1＞0$，$\therefore$二次函数的图象开口向上. $\because$该二次函数的图象与直线$y = 2a^{2}$有两个交点，$\therefore$二次函数的最小值小于$2a^{2}$，$\therefore\frac{4(3a^{2}-2a + 3)-4(a + 1)^{2}}{4}=2a^{2}-4a + 2＜2a^{2}$，解得$a＞\frac{1}{2}$.
(2)解：$\because$该二次函数的图象与$x$轴有交点，$\therefore$方程$x^{2}+2(a + 1)x + 3a^{2}-2a + 3 = 0$有实数根，$\therefore\Delta = 4(a + 1)^{2}-4×1×(3a^{2}-2a + 3)=-8a^{2}+16a - 8=-8(a - 1)^{2}\geqslant0$，$\therefore8(a - 1)^{2}\leqslant0$. $\because8(a - 1)^{2}\geqslant0$，$\therefore8(a - 1)^{2}=0$，解得$a = 1$.
(3)证明：当$x = 0$时，$y = 3a^{2}-2a + 3 = 3(a-\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{3}$. $\because(a-\frac{1}{3})^{2}\geqslant0$恒成立，$\therefore y = 3(a-\frac{1}{3})^{2}+\frac{8}{3}＞\frac{8}{3}＞0$，$\therefore$该二次函数的图象不经过原点.
(4)解：涵涵：二次函数顶点坐标为$(-a - 1,2a^{2}-4a + 2)$，则$\begin{cases}x = - a - 1,\\y = 2a^{2}-4a + 2,\end{cases}$
$\therefore a = - 1 - x$，代入，得$y = 2a^{2}-4a + 2 = 2(a - 1)^{2}=2(-1 - x - 1)^{2}=2(x + 2)^{2}$，故涵涵说法正确.
琳琳：$\because$二次函数与$y = x + k$有且只有一个交点，令$x^{2}+2(a + 1)x + 3a^{2}-2a + 3 = x + k$，即$x^{2}+(2a + 1)x + 3a^{2}-2a + 3 - k = 0$，则$\Delta =(2a + 1)^{2}-4(3a^{2}-2a + 3 - k)=0$，整理，得$k = 2a^{2}-3a+\frac{11}{4}$，故$k = 2(a-\frac{3}{4})^{2}+\frac{13}{8}\geqslant\frac{13}{8}$，$\therefore k$的最小值为$\frac{13}{8}$，故琳琳的说法正确.(任选一种说法判断即可)

9. (2025·长沙)我们约定：当 $ x_1 $，$ y_1 $，$ x_2 $，$ y_2 $ 满足 $ (x_1 + y_2)^2 + (x_2 + y_1)^2 = 0 $，且 $ x_1 + y_1 \neq 0 $ 时，称点 $ (x_1, y_1) $ 与点 $ (x_2, y_2) $ 为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。请你根据该约定，解答下列问题。
(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)：
① 函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”；(√)
② 函数 $ y = -2x + 1 $ 一定不是“对偶函数”；(√)
③ 函数 $ y = x^2 + x - 1 $ 的图象上至少存在两对“对偶点”；(×)
(2)若关于 $ x $ 的一次函数 $ y = k_1x + b_1 $ 与 $ y = k_2x + b_2 $($ b_1 $，$ b_2 $ 都是常数且 $ b_1 · b_2 ＜ 0 $)均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
(3)若关于 $ x $ 的二次函数 $ y = 2ax^2 - 1 $ 是“对偶函数”，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
9. 解：
(1)$①\surd$ $②\surd$ $③×$
(2)由题意可得$x_{2}=-y_{1}$，$y_{2}=-x_{1}$，点$(x_{1},y_{1})$与点$(-y_{1},-x_{1})$是一对“对偶点”，且$x_{1}\neq - y_{1}$，由于$y = k_{1}x + b_{1}$是“对偶函数”，则其图象上至少存在一对“对偶点”，从而有$\begin{cases}y_{1}=k_{1}x_{1}+b_{1},\\-x_{1}=-k_{1}y_{1}+b_{1},\end{cases}$两式相减可得$k_{1}=1$，同理可得$k_{2}=1$. $\therefore$两个一次函数的解析式为$y = x + b_{1}$，$y = x + b_{2}$. 由于$b_{1}$，$b_{2}$都是常数，且$b_{1}· b_{2}＜0$，故此两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于第二、四象限的两个等腰直角三角形，如图1、2所示，$\therefore$其面积之和$S=\frac{1}{2}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$.

(3)解法一：由题意可得$a\neq0$，且$x_{1}\neq -y_{1}$时，有$\begin{cases}y_{1}=2ax_{1}^{2}-1·s①,\\-x_{1}=2a(-y_{1})^{2}-1·s②,\end{cases}$以上两式相减变形可得$y_{1}=x_{1}-\frac{1}{2a}$，代入$①$整理可得$2ax_{1}^{2}-x_{1}+\frac{1}{2a}-1 = 0$，此关于$x_{1}$的一元二次方程必有实数根，当$\Delta = 1 - 8a(\frac{1}{2a}-1)=-3 + 8a = 0$时，$x_{1}=-y_{1}=\frac{2}{3}$(不符合题意)，$\therefore\Delta = - 3+8a＞0$，解得$a＞\frac{3}{8}$.
解法二：由题意可得$a\neq0$，由于函数$y = 2ax^{2}-1$是“对偶函数”，$\therefore$它的图象上至少存在一对“对偶点”.设一对“对偶点”为点$A(x_{1},y_{1})$与点$B(-y_{1},-x_{1})$且$x_{1}\neq - y_{1}$，不妨设经过A，B两点的直线(一次函数)的解析式为$y = mx + b(m\neq0)$，由题意可得$m = 1$，$b = y_{1}-x_{1}$，即$y = x + y_{1}-x_{1}$.联立$\begin{cases}y = 2ax^{2}-1·s①,\\y = x + y_{1}-x_{1}·s②,\end{cases}$ $① - ②$，得$2ax^{2}-x + x_{1}-y_{1}-1 = 0$. $\because$直线AB与二次函数图象必有两个不同交点，$\therefore\Delta = 1-8a(x_{1}-y_{1}-1)＞0·s③$，将A，B两点代入二次函数$y = 2ax^{2}-1$中，得$\begin{cases}y_{1}=2ax_{1}^{2}-1·s④,\\-x_{1}=2a(-y_{1})^{2}-1·s⑤,\end{cases}$ $④ - ⑤$，得$2a(x_{1}-y_{1})=1$，将其代入$③$可得$\Delta = 1 - 4 + 8a＞0$，解得$a＞\frac{3}{8}$.
解法三：由题意可得$a\neq0$，且$x_{1}\neq - y_{1}$时，有$\begin{cases}y_{1}=2ax_{1}^{2}-1·s①,\\-x_{1}=2a(-y_{1})^{2}-1·s②,\end{cases}$以上两式相减变形可得$x_{1}+(-y_{1})=\frac{1}{2a}$，以上两式相加变形可得$x_{1}·(-y_{1})=\frac{1}{4a^{2}}-\frac{1}{2a}$，$\therefore$关于$t$的一元二次方程$t^{2}-\frac{1}{2a}t+\frac{1}{4a^{2}}-\frac{1}{2a}=0$必有两个不相等的实数根$x_{1}$，$-y_{1}$，$\therefore\Delta = (-\frac{1}{2a})^{2}-4(\frac{1}{4a^{2}}-\frac{1}{2a})＞0$，解得$a＞\frac{3}{8}$.