《2026年决胜中考数学安徽专版》

1. （2024·安徽节选）如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，点 $M$，$N$ 分别在边 $AD$，$BC$ 上，且 $AM = CN$。点 $E$，$F$ 分别是 $BD$ 与 $AN$，$CM$ 的交点。连接 $BM$ 交 $AC$ 于点 $H$，连接 $HE$，$HF$。若 $□ ABCD$ 为菱形，且 $MD = 2AM$，$\angle EHF = 60^{\circ}$，求 $\frac{AC}{BD}$ 的值。

答案： 1. 解：
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD//BC.又
∵AM = CN，
∴四边形AMCN为平行四边形.
∵O为对角线AC的中点，易得OE = OF.
∵∠EHF = 60°，
∴∠EHO = ∠FHO = 30°，
∴OH = $\sqrt{3}$OE.
∵AM // BC，MD = 2AM，
∴△AHM∽△CHB，
∴$\frac{AH}{HC} = \frac{AM}{CB} = \frac{1}{3}$，即HC = 3AH，
∴OA + OH = 3(OA - OH)，
∴OA = 2OH.
∵BN // AD，MD = 2AM，AM = CN，
∴△BNE∽△DAE，
∴$\frac{BE}{DE} = \frac{BN}{DA} = \frac{2}{3}$，即3BE = 2DE，
∴3(OB - OE) = 2(OB + OE)，
∴OB = 5OE，故$\frac{AC}{BD} = \frac{OA}{OB} = \frac{2OH}{5OE} = \frac{2 × \sqrt{3}OE}{5OE} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$.

2. (2021·安徽)如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$\angle A = 120^{\circ}$，过菱形 $ABCD$ 的对称中心 $O$ 分别作边 $AB$，$BC$ 的垂线，交各边于点 $E$，$F$，$G$，$H$，则四边形 $EFGH$ 的周长为()


A.$3 + \sqrt{3}$
B.$2 + 2\sqrt{3}$
C.$2 + \sqrt{3}$
D.$1 + 2\sqrt{3}$

答案：
2. A [解析] 如图，
连接BD，AC.

∵四边形ABCD是菱形，AB = 2，∠BAD = 120°，
∴AB = BC = CD = AD = 2，∠BAO = ∠DAO = 60°，BD⊥AC，
∴∠ABO = ∠CBO = 30°，
∴OA = $\frac{1}{2}$AB = 1，OB = $\sqrt{3}$OA = $\sqrt{3}$.
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO = ∠BFO = 90°. 在△BEO和△BFO中，∠BEO = ∠BFO，∠EBO = ∠FBO，BO = BO，(AAS)，
∴OE = OF，BE = BF.
∵∠EBF = 60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF = BE = $\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$. 同理可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF = GH = $\frac{3}{2}$，EH = FG = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形EFGH的周长为EF + GH + EH + FG = 3 + $\sqrt{3}$.

(2025·安徽合肥三模)如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $CD$ 的中点，点 $F$ 是线段 $BE$ 的中点，$AF$ 的延长线交边 $BC$ 于点 $H$，连接 $DF$，$CF$。

(1)$FH:AF =$；
(2)若 $CF⊥DF$，则 $FH:BH =$。

答案：

(1)$\frac{1}{3}$
(2)$\frac{1}{2}$
[解析]
(1)如图1所示，过点F作FM//BC，
∴△EFM∽△EBC，
∴$\frac{FM}{BC} = \frac{EM}{EC} = \frac{EF}{EB}$.
∵点F是BE的中点，
∴EF = FB，
∴$\frac{EF}{EB} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{EM}{EC} = \frac{1}{2}$，即点M是EC中点，
∴EM = CM = $\frac{1}{2}$CE.
∵点E是CD的中点，
∴DE = CE，
∴CM = $\frac{1}{4}$CD，即$\frac{CM}{MD} = \frac{1}{3}$.
∵四边形ABCD是菱形，AB = BC = CD = AD，AD//BC，
∴BC//FM//AD，
∴$\frac{CM}{MD} = \frac{FH}{AF} = \frac{1}{3}$.

(2)如图2，延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于G点.
∵CF⊥DF，点E是边CD的中点，
∴EF = DE = EC.
∵点F是BE的中点，
∴DE = EC = EF = BF.令DE = EC = EF = BF = 1，则DC = 2，BE = 2.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AM//BC，∠MDE = ∠BCE. 又
∵DE = CE，∠DEM = ∠CEB，
∴△CBE≌△DME(ASA)，
∴BC = MD = 2，BE = ME = 2.
∵MD//BG，
∴△BFG∽△MFD，
∴$\frac{BG}{MD} = \frac{FG}{FD} = \frac{BF}{MF} = \frac{1}{3}$，
∴BG = $\frac{1}{3}$MD = $\frac{2}{3}$. 同理△HFG∽△AFD，
∴$\frac{HG}{AD} = \frac{FG}{FD} = \frac{1}{3}$，
∴HG = $\frac{1}{3}$AD = $\frac{2}{3}$，
∴CH = BC - BG - HG = 2 - $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$，
∴CH = GH，
∴FH是Rt△CFG的中线，
∴FH = GH = CH = $\frac{2}{3}$，
∴$\frac{FH}{BH} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}} = \frac{1}{2}$.

3. (2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是()

A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等

答案： 3. A

4. (2025·湖南)如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直平分，$AB = 3$，则四边形 $ABCD$ 的周长为()

A.6
B.9
C.12
D.18

答案： 4. C

5. (2025·黑龙江龙东地区)如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，请添加一个条件：，使平行四边形 $ABCD$ 为菱形。

答案： 5.AB = AD(或AC⊥BD，答案不唯一)

6. (2025·辽宁)如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$AC = 8$，$BD = 12$，点 $E$ 在线段 $OA$ 上，$AE = 2$，点 $F$ 在线段 $OC$ 上，$OF = 1$，连接 $BE$，点 $G$ 为 $BE$ 的中点，连接 $FG$，则 $FG$ 的长为。

答案： 6.$\sqrt{13}$ [解析]
∵四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC = 8，BD = 12，
∴∠AOB = ∠BOC = 90°，AO = CO = 4，BO = 6. 又
∵AE = 2，OF = 1，
∴EC = 6，CF = 3，
∴EF = 3，即F为EC的中点.在△EBC中，G为BE的中点，F为EC的中点，
∴FG为△EBC的中位线，
∴FG = $\frac{1}{2}$BC. 在Rt△BOC中，BC = $\sqrt{BO^{2} + CO^{2}} = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13}$，
∴FG = $\frac{1}{2}$BC = $\sqrt{13}$.