《2026年决胜中考数学安徽专版》

典例 (2025·芜湖三模)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（a，b，c为常数，且$a\neq0$）与y轴交于点A。
(1) 若$a = -1$，$c = 3$，该抛物线与x轴交于点$B(-3,0)$。
① 求该抛物线与x轴的另一个交点C的横坐标；
② 过线段AB上一点D作$DE\perp x$轴于E，ED的延长线交抛物线于F，若$DF = 2$，求$\frac{BE}{CE}$的值；
(2) 已知点P在该抛物线上，且直线AP经过该抛物线的顶点，设AP与x轴，y轴所围成的三角形面积为S，$b = 3c^{2}-2c + 1$，且$\frac{1}{2}\leq c\leq2$，求S的最小值。

答案： [解析]
(1) ① 首先利用待定系数法求出该抛物线的表达式，然后令$y = 0$求解即可；② 首先求出点A的坐标为$(0,3)$，求出直线AB的表达式为$y = x + 3$，设$D(d,d + 3)$，则$F(d,-d^{2}-2d + 3)$，根据$DF = 2$列方程求出$d = -1$或$d = -2$，然后代入$\frac{BE}{CE}$求解即可。
(2) 设直线AP的表达式为$y = mx + c$，将抛物线顶点代入得到$m=\frac{3c^{2}-2c + 1}{2}$，求出直线AP的表达式为$y=\frac{3c^{2}-2c + 1}{2}x + c$，然后令$y = 0$，求出$x = -\frac{2c}{3c^{2}-2c + 1}$，然后表示出$S=\frac{1}{2}|-\frac{2c}{3c^{2}-2c + 1}|·|c|$，然后结合$\frac{1}{2}\leq c\leq2$求解即可。
[答案] 解：
(1) ① $\because a = -1$，$c = 3$，该抛物线与x轴交于点$B(-3,0)$，$\therefore y = -x^{2}+bx + 3$，将点B的坐标代入得$-(-3)^{2}-3b + 3 = 0$，解得$b = -2$，$\therefore$该抛物线的表达式为$y = -x^{2}-2x + 3$。当$y = 0$时，得$-x^{2}-2x + 3 = 0$，解得$x = -3$或$x = 1$，$\therefore$该抛物线与x轴的另一个交点C的横坐标为1。
② $\because$抛物线的表达式为$y = -x^{2}-2x + 3$与y轴交于点A，当$x = 0$时，得$y = 3$，$\therefore A(0,3)$。设直线AB的解析式为$y = kx + b$，将点A，B的坐标分别代入得$\begin{cases}b = 3,\\-3k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\b = 3,\end{cases}$ $\therefore$直线AB的表达式为$y = x + 3$。设$D(d,d + 3)$，则$F(d,-d^{2}-2d + 3)$，$\therefore DF = -d^{2}-2d + 3-(d + 3)= -d^{2}-3d$。$\because DF = 2$，$\therefore -d^{2}-3d = 2$，解得$d = -1$或$d = -2$。当$d = -1$时，$BE = -1-(-3)=2$，$CE = 1-(-1)=2$，$\therefore\frac{BE}{CE}=1$；当$d = -2$时，$BE = -2-(-3)=1$，$CE = 1-(-2)=3$，$\therefore\frac{BE}{CE}=\frac{1}{3}$。综上$\frac{BE}{CE}$的值为1或$\frac{1}{3}$。
(2) 由题意，设直线AP的表达式为$y = mx + c$，该抛物线的顶点为$(-\frac{3c^{2}-2c + 1}{2a},\frac{4ac-(3c^{2}-2c + 1)^{2}}{4a})$。$\because$直线AP经过该抛物线的顶点，$\therefore\frac{4ac-(3c^{2}-2c + 1)^{2}}{4a}=-m·\frac{3c^{2}-2c + 1}{2a}+c$，解得$m=\frac{3c^{2}-2c + 1}{2}$，$\therefore$直线AP的表达式为$y=\frac{3c^{2}-2c + 1}{2}x + c$。令$y = 0$，解得$x = -\frac{2c}{3c^{2}-2c + 1}$，$\therefore S=\frac{1}{2}|-\frac{2c}{3c^{2}-2c + 1}|·|c|$。$\because\frac{1}{2}\leq c\leq2$，$\therefore\frac{1}{2}\leq\frac{1}{c}\leq2$。又$\because3c^{2}-2c + 1 = 2c^{2}+(c - 1)^{2}＞0$，$\therefore S=\frac{c^{2}}{3c^{2}-2c + 1}=\frac{1}{3-\frac{2}{c}+(\frac{1}{c})^{2}}=\frac{1}{(\frac{1}{c}-1)^{2}+2}$。$\because(\frac{1}{c}-1)^{2}+2$的对称轴为直线$x = 1$，开口向上，$\frac{1}{2}\leq\frac{1}{c}\leq2$，$\therefore$当$\frac{1}{c}=2$时，$(\frac{1}{c}-1)^{2}+2$取得最大值3，$\therefore$此时S取最小值，最小值为$\frac{1}{3}$。