《2026年决胜中考数学安徽专版》

知识点2 实数的大小比较
实数的大小比较
类别比较法：正数$＞ 0 ＞$负数；两个负数相比较大小时，绝对值大的反而小
数轴比较法：数轴上表示的两个数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大
平方比较法：$a^2 ＞ b ＞ 0 \Leftrightarrow a ＞ \sqrt{b}(a ＞ 0，b \geq 0)$(主要应用于无理数的估值或无理数的大小比较)
差值比较法：$a - b ＞ 0 \Leftrightarrow a ＞ b$；$a - b ＜ 0 \Leftrightarrow a$㉖$b$；$a - b = 0 \Leftrightarrow$㉗
求商比较法($a$，$b ＞ 0$)：$\frac{a}{b} ＞ 1 \Leftrightarrow a ＞ b$；$\frac{a}{b} ＜ 1 \Leftrightarrow a$㉘$b$；$\frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow$㉙

答案： ㉖＜ ㉗a=b ㉘＜ ㉙a=b

典例1
计算：$7^0 + (\frac{1}{6})^{-1} + \vert -\frac{1}{2} \vert - (\sqrt{5})^2 - \sin 30^{\circ}$

答案： [解析] 本题考查实数的综合运算能力，涉及有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，实数的绝对值化简、特殊角的三角函数值等考点。针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算顺序和法则求得计算结果。
[答案] 解：原式$= 1 + 6 + \frac{1}{2} - 5 - \frac{1}{2} = 2$

典例2
《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”。例如面积为$8$的正方形的边长称为$8$“面”，关于$28$“面”的值说法正确的是()

A.是$4$和$5$之间的实数
B.是$5$和$6$之间的实数
C.是$6$和$7$之间的实数
D.是$7$和$8$之间的实数

答案： [解析] 根据无理数的估算方法进行计算。$\because 25 ＜ 28 ＜ 36$，$\therefore 5 ＜ \sqrt{28} ＜ 6$，$\therefore 28$“面”的值是$5$和$6$之间的实数。
[答案] B

典例3
比较下列各数的大小：$-1.5$，$0$，$\vert -2 \vert$，$-\sqrt{3}$，其中最小的数是()
A.$-1.5$
B.$-\sqrt{3}$
C.$0$
D.$\vert -2 \vert$

答案： [解析] 利用实数大小的比较方法：1. 在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大。2. 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。3. 两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。按照从小到大的顺序排列找出结论即可。$\because \vert -2 \vert = 2$，$\therefore -\sqrt{3} ＜ -1.5 ＜ 0 ＜ 2$，$\therefore -\sqrt{3} ＜ -1.5 ＜ 0 ＜ \vert -2 \vert$，$\therefore$最小的数是$-\sqrt{3}$。
[答案] B