《2026年决胜中考数学安徽专版》

知识点8 正多边形与圆（n为不小于3的整数）

答案： ㉒$\frac{360^{\circ}}{n}$

典例1 (2025·安徽滁州二模)
如图，A，B，C是$\odot O$上的三点，$\angle B = 20^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，则$\angle BOC$的度数是()


A.$50^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： [解析] 连接OA，由题意可得，$OA = OB = OC$，$\therefore\angle OAB=\angle B = 20^{\circ}$，$\angle OAC=\angle C = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BAC=\angle OAB+\angle OAC = 50^{\circ}$，$\therefore\angle BOC = 2\angle BAC = 100^{\circ}$.
[答案] B

典例2 （2025·内江）
如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC\perp AB$于点D，且$AB = 8$，$OC = 5$，则DC的长是_.

答案： [解析] 连接OA. $\because OC\perp AB$，$AB = 8$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB = 4$，$\angle ADO = 90^{\circ}$. $\because OC = 5$，$\therefore OA = 5$，$\therefore$在$Rt\triangle ADO$中，$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}} = 3$，$\therefore CD = OC - OD = 5 - 3 = 2$.
[答案] 2

典例3

如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，D是AB上一点，$\odot O$经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作$DF// BC$，交$\odot O$于点F. 求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）$AF = EF$.

答案： [解析] 本题考查等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质. （1）根据等边对等角，结合平行线的性质进行代换，可证$BD// CF$，从而判定四边形DBCF是平行四边形. （2）连接AE，根据平行线的性质和圆圆周角的性质证明$\angle AEF=\angle B$，结合圆内接四边形的对角互补，再由平行线的性质得$\angle AEF=\angle EAF$，从而证明$AF = EF$.
[答案] 证明：（1）$\because AC = BC$，$\therefore\angle BAC=\angle B$. $\because DF// BC$，$\therefore\angle ADF=\angle B$. $\because\angle BAC=\angle CFD$，$\therefore\angle ADF=\angle CFD$，$\therefore BD// CF$. 又$\because DF// BC$，$\therefore$四边形DBCF是平行四边形.
（2）连接AE. $\because\angle ADF=\angle B$，$\angle ADF=\angle AEF$，$\therefore\angle AEF=\angle B$. $\because$四边形AECF是$\odot O$的内接四边形，$\therefore\angle ECF+\angle EAF = 180^{\circ}$. $\because BD// CF$，$\therefore\angle ECF+\angle B = 180^{\circ}$，$\therefore\angle EAF=\angle B$，$\therefore\angle AEF=\angle EAF$，$\therefore AF = EF$.