《2026年决胜中考数学安徽专版》

1. (2023·安徽) 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线$y = ax^{2}+bx$（$a\neq0$）经过点$A(3,3)$，对称轴为直线$x = 2$。
(1) 求a，b的值；
(2) 已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为$t + 1$。过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E。
(i) 当$0＜t＜2$时，求$\triangle OBD$与$\triangle ACE$的面积之和；
(ii) 在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为$\frac{3}{2}$？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由。

答案：
1.解:
(1)依题意，得$\begin{cases}9a + 3b = 3,\frac{b}{2a}=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1,\\b = 4.\end{cases}$
(2)由
(1)得$y = -x^{2}+4x$，$\therefore$当$x = t$时，$y = -t^{2}+4t$。当$x = t + 1$时，$y = -(t + 1)^{2}+4(t + 1)$，即$y = -t^{2}+2t + 3$，$\therefore B(t,-t^{2}+4t)$，$C(t + 1,-t^{2}+2t + 3)$。设$OA$的解析式为$y = kx(k\neq0)$，将$(3,3)$代入，得$3 = 3k$，$\therefore k = 1$，$\therefore OA$的解析式为$y = x$，$\therefore D(t,t)$，$E(t + 1,t + 1)$。
(i)当$0\lt t\lt2$时，如图1，设$BD$与$x$轴交于点$M$，过点$A$作$AN\perp CE$交$CE$于点$N$，$\therefore M(t,0)$，$N(t + 1,3)$，$\therefore S_{\triangle OBD}+S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}· BD· OM+\frac{1}{2}· AN· CE=\frac{1}{2}(-t^{2}+4t - t)· t+\frac{1}{2}(3 - t - 1)·(-t^{2}+2t + 3 - t - 1)=\frac{1}{2}(-t^{3}+3t^{2})+\frac{1}{2}(t^{3}-3t^{2}+4)=-\frac{1}{2}t^{3}+\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2}t^{3}-\frac{3}{2}t^{2}+2 = 2$。

(ii)①当$2\lt t\lt3$时，如图2，过点$D$作$DH\perp CE$交$CE$于点$H$，易知$H(t + 1,t)$，$BD = -t^{2}+4t - t = -t^{2}+3t$，$CE = t + 1 - (-t^{2}+2t + 3)=t^{2}-t - 2$，$DH = t + 1 - t = 1$，$\therefore S_{四边形DCEB}=\frac{1}{2}(BD + CE)· DH$，即$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(-t^{2}+3t+t^{2}-t - 2)×1$，解得$t=\frac{5}{2}$。
②当$t\gt3$时，如图3，过点$D$作$DG\perp CE$交$CE$于点$G$，易知$BD = t - (-t^{2}+4t)=t^{2}-3t$，$CE = t^{2}-t - 2$，$DG = 1$，$\therefore S_{四边形DBCE}=\frac{1}{2}(BD + CE)· DG$，即$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}(t^{2}-3t+t^{2}-t - 2)×1$，解得$t_{1}=\frac{\sqrt{14}}{2}+1$(舍)，$t_{2}=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$(舍)。
综上所述，$t$的值为$\frac{5}{2}$。