《2026年决胜中考数学安徽专版》

(2025·安徽模拟) 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为$(1,0)$，直线BC的解析式为$y = -x + 3$。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点M是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，过点M作$MN\perp x$轴交BC于点N，计算线段MN的最大值；
(3) 若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使$\angle PAB=\angle ACB$。若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标。

答案：
[变式训练]
解:
(1)直线$BC$的解析式为$y = -x + 3$，抛物线与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$。当$x = 0$时，得$y = 3$；当$y = 0$时，得$-x + 3 = 0$，解得$x = 3$，$\therefore C(0,3)$，$B(3,0)$。抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(1,0)$，将点$A$，$B$，$C$的坐标$\begin{cases}a + b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\\c = 3,\end{cases}$代入得$\begin{cases}a = 1,\\b = -4,\\c = 3,\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y = x^{2}-4x + 3$。
(2)设$M(m,m^{2}-4m + 3)$，$N(m,-m + 3)$，其中$0\lt m\lt3$，$\therefore MN=-m + 3-(m^{2}-4m + 3)=-m^{2}+3m=-(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。$\because -1\lt0$，$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时，$MN$有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。
(3)存在点$P$，使$\angle PAB=\angle ACB$。理由如下：连接$AC$，作$AH\perp BC$于点$H$。$\because C(0,3)$，$B(3,0)$，$\therefore OB = OC = 3$，

$\therefore\angle OBC = 45^{\circ}$，$AB = 3 - 1 = 2$，$BC=\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{2}$，$\therefore\triangle ABH$是等腰直角三角形，$\therefore AH = BH = AB·\sin45^{\circ}=\sqrt{2}$，$\therefore CH = BC - BH = 2\sqrt{2}$，$\therefore\tan\angle ACB=\frac{AH}{CH}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。设$P(n,n^{2}-4n + 3)$，作$PK\perp x$轴于点$K$，$\therefore AK = n - 1$，$PK=\vert n^{2}-4n + 3\vert$。$\because\angle PAB=\angle ACB$，$\therefore\tan\angle PAK=\frac{PK}{AK}=\frac{1}{2}$，$\therefore AK = 2PK$，$\therefore n - 1 = 2\vert n^{2}-4n + 3\vert$；当$n - 1 = 2(n^{2}-4n + 3)$时，整理得$2n^{2}-9n + 7 = 0$，解得$n = 1$(舍去)或$n=\frac{7}{2}$，$\therefore$点$P$为$(\frac{7}{2},\frac{5}{4})$。当$n - 1 = -2(n^{2}-4n + 3)$时，整理得$2n^{2}-7n + 5 = 0$，解得$n = 1$（舍去）或$n=\frac{5}{2}$，$\therefore$点$P$为$(\frac{5}{2},-\frac{3}{4})$。综上所述，存在点$P$，使$\angle PAB=\angle ACB$，点$P$的坐标为$(\frac{7}{2},\frac{5}{4})$或$(\frac{5}{2},-\frac{3}{4})$。

2. (2021·安徽) 已知抛物线$y = ax^{2}-2x + 1$（$a\neq0$）的对称轴为直线$x = 1$。
(1) 求a的值；
(2) 若点$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$都在此抛物线上，且$-1＜x_{1}＜0$，$1＜x_{2}＜2$，比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小，并说明理由；
(3) 设直线$y = m$（$m＞0$）与抛物线$y = ax^{2}-2x + 1$交于点A，B，与抛物线$y = 3(x - 1)^{2}$交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比。

答案： 2.解:
(1)根据题意可知，抛物线$y = ax^{2}-2x + 1(a\neq0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2}{2a}=1$，$\therefore a = 1$。
(2)由
(1)可知，抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$。$\because a = 1\gt0$，$\therefore$当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而减小。$\because -1\lt x_{1}\lt0$，$\therefore1\lt y_{1}\lt4$。$\because1\lt x_{2}\lt2$，$\therefore0\lt y_{2}\lt1$，$\therefore y_{1}\gt y_{2}$。
(3)联立$y = m(m\gt0)$与$y = x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$，可得$A(1+\sqrt{m},m)$，$B(1-\sqrt{m},m)$，$\therefore AB = 2\sqrt{m}$。联立$y = m(m\gt0)$与$y = 3(x - 1)^{2}$，可得$C(1+\sqrt{\frac{m}{3}},m)$，$D(1-\sqrt{\frac{m}{3}},m)$，$\therefore CD = 2×\sqrt{\frac{m}{3}}=\frac{2\sqrt{3m}}{3}$，$\therefore\frac{AB}{CD}=\sqrt{3}:1$。