《2026年决胜中考数学安徽专版》

典例5 (2025·安徽模拟)
【观察思考】

以上图案均由边长为1的等边三角形和边长为1的菱形拼凑而成。
【规律发现】
(1)第$n$幅图中有(n+1)个边长为1的等边三角形；
(2)第一幅图中菱形的个数为$\frac{1×2}{2}=1$；第二幅图中菱形的个数为$1 + 2=\frac{2×3}{2}=3$；第三幅图中菱形的个数为$1 + 2 + 3=\frac{3×4}{2}=6$；则第$n$幅图中菱形的个数为\frac{n(n+1)}{2}；
(3)若第$k$幅图中边长为1的菱形的个数是边长为1的等边三角形个数的3倍，求$k$的值。

答案： [解析]
(1)第一个图形有2个边长为1的等边三角形，第二个有3个，第三个有4个，第$n$个有$(n + 1)$个。
(2)观察可得，第$n$个图形有$1 + 2 + 3+·s + n=\frac{n(n + 1)}{2}$个菱形。
(3)明确等量关系，$\frac{k(k + 1)}{2}=3(k + 1)$，求解$k$即可。
[答案]
(1)$(n + 1)$
(2)$\frac{n(n + 1)}{2}$
(3)解：由题意知，$\frac{k(k + 1)}{2}=3(k + 1)$，解得$k = 6$或$k=-1$(不符合题意)，
∴$k$的值为6。

1. (2023·安徽)下列计算正确的是(C)

A.$a^{4}+a^{4}=a^{8}$
B.$a^{4}· a^{4}=a^{16}$
C.$(a^{4})^{4}=a^{16}$
D.$a^{8}÷ a^{4}=a^{2}$

答案： C

2. (2022·安徽)下列各式中，计算结果等于$a^{9}$的是(B)

A.$a^{3}+a^{6}$
B.$a^{3}· a^{6}$
C.$a^{10}-a$
D.$a^{18}÷ a^{2}$

答案： B

3. (2020·安徽)计算$(-a)^{6}÷ a^{3}$的结果是(C)

A.$-a^{3}$
B.$-a^{2}$
C.$a^{3}$
D.$a^{2}$

答案： C

4. (2017·安徽)计算$(-a^{3})^{2}$的结果是(A)

A.$a^{6}$
B.$-a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$

答案： A

5. (2020·安徽)分解因式：$ab^{2}-a=$a(b+1)(b-1)。

答案： a(b+1)(b-1)

1. 下列各选项中因式分解正确的是(D)

A.$x^{2}-1=(x - 1)^{2}$
B.$a^{3}-2a^{2}+a=a(a^{2}-2a)$
C.$-2y^{2}+4y=-2y(y + 2)$
D.$m^{2}n-2mn + n=n(m - 1)^{2}$

答案： D

2. (2025·自贡)若$2a + b=-1$，则$4a^{2}+2ab - b$的值为1。

答案： 1

6. (2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数$N$能否表示为$x^{2}-y^{2}$($x$，$y$均为自然数)”的问题。
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下($n$为正整数)：

按上表规律，完成下列问题：
(ⅰ)$24=($7$)^{2}-($5$)^{2}$；
(ⅱ)$4n=$$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14……这些形如$4n - 2$($n$为正整数)的正整数$N$不能表示为$x^{2}-y^{2}$($x$，$y$均为自然数)。师生一起研讨，分析过程如下：
假设$4n - 2=x^{2}-y^{2}$，其中$x$，$y$均为自然数。
分下列三种情形分析：
①若$x$，$y$均为偶数，设$x = 2k$，$y = 2m$，其中$k$，$m$均为自然数，
则$x^{2}-y^{2}=(2k)^{2}-(2m)^{2}=4(k^{2}-m^{2})$为4的倍数，
而$4n - 2$不是4的倍数，矛盾。故$x$，$y$不可能均为偶数。
②若$x$，$y$均为奇数，设$x = 2k + 1$，$y = 2m + 1$，其中$k$，$m$均为自然数，
则$x^{2}-y^{2}=(2k + 1)^{2}-(2m + 1)^{2}=$$4(k^{2}-m^{2}+k-m)$为4的倍数。
而$4n - 2$不是4的倍数，矛盾。故$x$，$y$不可能均为奇数。
③若$x$，$y$一个是奇数一个是偶数，则$x^{2}-y^{2}$为奇数。
而$4n - 2$是偶数，矛盾。故$x$，$y$不可能一个是奇数一个是偶数。
由①②③可知，猜测正确。
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。

答案：
(1)(i)7 5 (ii)$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$
(2)$4(k^{2}-m^{2}+k-m)$