《2026年决胜中考数学安徽专版》

典例2 (2025·庐阳区校级三模)
如图，二次函数$y = ax^{2}-bx + c$的图象与$x$轴交于点$A(1,0)$，点$B$。点$C$在$x$轴下方的抛物线上，点$C$的横坐标为$m$，则下列说法：①$b＞0$；②$c = b - a$；③$b＞2c$；④$\frac{b}{a}＜m + 1$。其中正确的是（ ）


A.②④
B.①②③
C.①③④
D.②③④

答案： [解析] $\because$二次函数$y = ax^{2}-bx + c$的抛物线的开口方向向上，对称轴在$y$轴的左侧，$\therefore a＞0$，$-\frac{-b}{2a}＜0$，$\therefore b＜0$，即①错误。$\because$二次函数$y = ax^{2}-bx + c$的图象与$x$轴交于点$A(1,0)$，点$B$，$\therefore a - b + c = 0$，则$c = b - a$，即②正确。$\because c = b - a$，$\therefore a = b - c$。又$\because a＞0,b＜0$，$\therefore c＜0$，$\therefore a - c＞0$，$\therefore b - c - c＞0$，则$b＞2c$，即③正确。$\because$点$C$的横坐标为$m$，则$1 - m\neq0$，$\therefore am^{2}-bm + c＜0$，$\therefore am^{2}-bm + b - a＜0$，$\therefore m^{2}-\frac{b}{a}m+\frac{b}{a}-1＜0$，$\therefore\frac{b}{a}(1 - m)＜1 - m^{2}$，$\therefore\frac{b}{a}(1 - m)＜(1 + m)(1 - m)$，$\therefore\frac{b}{a}＜1 + m$，即④正确。
[答案] D

命题点1 抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与系数a,b,c的关系
1. (2025·安徽)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，则（ ）

A.$abc＜0$
B.$2a + b＜0$
C.$2b - c＜0$
D.$a - b + c＜0$

答案： 1.C [解析]由图象可知抛物线交x轴于
点(2,0),另一个交点横坐标在－1和0
之间，根据对称性知对称轴$\frac {1}{2}＜- \frac {b}{2a}＜$
1,
∴$b＞-2a$,即$2a+b＞0$,故B选项错
误.当$x=-1$时，可知$y＞0$,即$a-b+$
$c＞0$,故D选项错误.观察图象知$a＞0$,
$b＜0$,$c＜0$,故$abc＞0$,故A选项错误.
由对称轴的范围可知$b＜-a$,即$b+a＜$
0,故$4b+4a＜0$…①，把点(2,0)代入抛
物线中，得$4a+2b+c=0$,故$4a=$
$-2b-c$,再代入①式中，可得$4b-2b-c＜0$,整理即为$2b-c＜0$,故C选项
正确.

2. (2023·安徽)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$在第一象限内的图象与一次函数$y=-x + b$的图象如图所示，则函数$y = x^{2}-bx + k - 1$的图象可能为（ ）

答案： 2.A [解析]由题意可设直线和反比例函
数图象的交点坐标分别为(1,k)和(k,
1),将(1,k)代入$y=-x+b$,得$k=-1+$
$b$,即$b=k+1$.
∵$y=\frac {k}{x}$的图象在点(1,
1)上方,
∴$k＞1$,
∴$b＞2$,
∴抛物线的对
称轴$x=\frac {b}{2}＞1$,且抛物线不经过原点,
故BC错误;在$y=x^{2}-bx+k-1$中,令
$x=1$,得$y=1-b+k-1=-1$,故A正
确,D错误.

3. (2025·德阳)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$是常数，$a＞0)$过点$(1,0),(m,0)$，且$2＜m＜3$，该抛物线与直线$y = kx + c(k,c$是常数，$k\neq0)$相交于$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两点(点$A$在点$B$左侧)。下列说法：①$bc＜0$；②$3a + b＞0$；③点$A'$是点$A$关于直线$x=-\frac{b}{2a}$的对称点，则$3＜AA'＜4$；④当$x_{2}=4$时，不等式$ax^{2}+(b - k)x＜0$的解集为$0＜x＜4$。其中正确的结论个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3.B

4. (2025·绥化)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交于点$A(3,0)$，$B(-1,0)$，与$y$轴交于点$C(0,m)$，其中$-4＜m＜-3$。则下列结论：①$a - c＞0$；②方程$ax^{2}+bx + c - 5 = 0$没有实数根；③$-\frac{8}{3}＜b＜-2$；④$\frac{a + b + c}{b - a}＞0$。其中错误的个数有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A