《2026年决胜中考数学安徽专版》

5. （2022·安徽）如图，为了测量河对岸 $A$，$B$ 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 $C$，测得 $A$，$B$ 均在 $C$ 的北偏东 $37^{\circ}$ 方向上，沿正东方向行走 $90$ 米至观测点 $D$，测得 $A$ 在 $D$ 的正北方向，$B$ 在 $D$ 的北偏西 $53^{\circ}$ 方向上。求 $A$，$B$ 两点间的距离。（参考数据：$\sin 37^{\circ}\approx 0.60$，$\cos 37^{\circ}\approx 0.80$，$\tan 37^{\circ}\approx 0.75$）

答案：
5.解:如图，
∵$CE// AD$,$\therefore \angle A = \angle ECA = 37^{\circ}$,$\therefore \angle CBD = \angle A + \angle ADB = 37^{\circ}+53^{\circ}=90^{\circ}$,$\therefore \angle ABD = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle BCD$中,$\angle BDC = 90^{\circ}-53^{\circ}=37^{\circ}$,$CD = 90$米.

$\therefore \cos \angle BDC=\frac{BD}{CD}$,$\therefore BD = CD·\cos37^{\circ}\approx90×0.80 = 72$(米).
在$Rt\triangle ABD$中,$\angle A = 37^{\circ}$,$BD = 72$米,$\tan A=\frac{BD}{AB}$,$\therefore AB=\frac{BD}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{72}{0.75}=96$(米).
$\therefore A$,$B$两点间的距离约96米.

6. （2020·安徽）如图，山顶上有一个信号塔 $AC$，已知信号塔高 $AC = 15m$，在山脚下点 $B$ 处测得塔底 $C$ 的仰角 $\angle CBD = 36.9^{\circ}$，塔顶 $A$ 的仰角 $\angle ABD = 42.0^{\circ}$。求山高 $CD$（点 $A$，$C$，$D$ 在同一条竖直线上）。（参考数据：$\tan 36.9^{\circ}\approx 0.75$，$\sin 36.9^{\circ}\approx 0.60$，$\tan 42.0^{\circ}\approx 0.90$）

答案： 6.解:设山高$CD = xm$,则在$Rt\triangle BCD$中,$\tan \angle CBD=\frac{CD}{BD}$,即$\tan36.9^{\circ}=\frac{x}{BD}$,$\therefore BD=\frac{x}{\tan36.9^{\circ}}\approx\frac{x}{0.75}=\frac{4}{3}x$.
在$Rt\triangle ABD$中,$\tan \angle ABD=\frac{AD}{BD}$,即$\tan42^{\circ}=\frac{AD}{\frac{4}{3}x}$,$\therefore AD=\frac{4}{3}x·\tan42^{\circ}\approx\frac{4}{3}x×0.9 = 1.2x$.
$\because AD - CD = 15m$,$\therefore 1.2x - x = 15$,解得$x = 75$,$\therefore$山高$CD$为75m.

7. (2025·天津)$\tan 45^{\circ}-\sqrt{2}\cos 45^{\circ}$ 的值等于(A)

A.$0$
B.$1$
C.$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1-\sqrt{2}$

答案： 7.A

8. (2025·连云港)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，$AD$ 平分 $\angle CAB$，$BE\perp AD$，$E$ 为垂足，则 $\frac{AD}{BE}$ 的值为(A)

A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{7\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$

答案：
8.A　[解析]如图，延长$BE$交$AC$的延长线于点$F$.

$\because AD$平分$\angle CAB$,$\therefore \angle FAE = \angle BAE$.又$\because AE\perp BF$,$\therefore \angle ABF = \angle F$,$\therefore AF = AB$,$\therefore BE = EF$.
易证$\triangle ACD\sim\triangle BCF$,$\therefore\frac{AD}{BF}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{3}$,$\therefore\frac{AD}{BE}=\frac{1}{2}·\frac{BF}{BE}=\frac{2AD}{BF}=2\sqrt{3}$.

9. (2025·成都)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $AC$ 边上，$AD = 3$，$CD = 2$，$\angle CBD = 45^{\circ}$，则 $\tan\angle ACB$ 的值为4；点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，连接 $DE$，若 $\angle CED=\angle ABD$，则 $CE$ 的长为$\frac{2\sqrt{17}}{3}$。

答案：
9.4　$\frac{2\sqrt{17}}{3}$
[解析]如图，作$AH\perp BC$,$DG\perp BC$,$DF\perp AH$，垂足分别为$H$,$G$,$F$,则四边形$DFHG$为矩形，$\therefore DG = FH$,$DF = HG$,$DF// HG$,$DG// AH$.

$\because \angle CBD = 45^{\circ}$,$\therefore \triangle BDG$为等腰直角三角形，$\therefore BG = DG$.
$\because AB = AC$,$\therefore BH = CH$,$\angle ABC = \angle ACB$.
$\because DF// BC$,$\therefore \triangle ADF\sim\triangle ACH$,$\therefore\frac{DF}{CH}=\frac{AD}{AC}=\frac{AD}{AD + CD}=\frac{3}{5}$.
设$DF = 3x$,则$CH = 5x$,$HG = DF = 3x$,$BH = CH = 5x$,$\therefore DG = BG = BH + HG = 8x$,$CG = CH - HG = 2x$.
在$Rt\triangle CGD$中,$\tan \angle ACB=\frac{DG}{CG}=\frac{8x}{2x}=4$.
由勾股定理得$(2x)^{2}+(8x)^{2}=2^{2}$,解得$x=\frac{\sqrt{17}}{17}$(负舍),$\therefore BD = 8\sqrt{2}x=\frac{8\sqrt{34}}{17}$,$BC = 2CH = 10x=\frac{10\sqrt{17}}{17}$.
$\because \angle CED = \angle ABD$,$\angle ACB = \angle CED + \angle CDE$,$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$,$\angle ABC = \angle ACB$,$\therefore \angle CDE = \angle CBD = 45^{\circ}$.
又$\because \angle DEC = \angle BED$,$\therefore \triangle DEC\sim\triangle BED$,$\therefore\frac{DE}{BE}=\frac{CE}{DE}=\frac{CD}{BD}=\frac{2}{\frac{8\sqrt{34}}{17}}=\frac{\sqrt{34}}{8}$,$\therefore DE=\frac{8}{\sqrt{34}}CE$,$DE^{2}=BE· CE=(BC + CE)· CE$,$\therefore(\frac{8}{\sqrt{34}}CE)^{2}=(\frac{10\sqrt{17}}{17}+CE)· CE$,解得$CE = 0$(舍去)或$CE=\frac{2\sqrt{17}}{3}$.

10. （2025·乐山）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = 2$。
（1）求 $AB$ 的长；
（2）求点 $C$ 到线段 $AB$ 的距离。

答案：
10.解:
(1)如图,过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$.
在$Rt\triangle ACD$中,$\because \angle ACD = 60^{\circ}$,$AC = 2$,$\therefore AD = AC·\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$.
在$Rt\triangle ABD$中,$\because \angle ABD = 45^{\circ}$,$\therefore AB=\frac{AD}{\sin45^{\circ}}=\sqrt{6}$.

(2)如图,过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$,过点$C$作$CE\perp AB$于点$E$.
由
(1)易得$BD=\frac{AD}{\tan45^{\circ}}=\sqrt{3}$,$CD = AC·\cos60^{\circ}=1$,$\therefore BC=\sqrt{3}+1$.
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· CE=\frac{1}{2}BC· AD$,$\therefore\frac{1}{2}×\sqrt{6}· CE=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}$,解得$CE=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore$点$C$到线段$AB$的距离为$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.