《2026年决胜中考数学安徽专版》

典例 (2025·安庆模拟)
根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润 $y_1$（千元）与进货量 $x$（吨）之间的函数 $y_1 = kx$ 的图象如图1所示，乙种蔬菜的销售利润 $y_2$（千元）与进货量 $x$（吨）之间的函数 $y_2 = ax^2 + bx$ 的图象如图2所示。

(1)分别求出 $y_1$，$y_2$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为 $t$ 吨。
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和 $W$（千元）与 $t$（吨）之间的函数关系式，并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

答案： [解析]
(1)把 $(5,3)$ 代入正比例函数即可求得 $k$ 的值也就求得了 $y_1$ 的关系式；把点 $(1,2)$，$(5,6)$ 代入 $y_2 = ax^2 + bx$ 即可求得 $y_2$ 的关系式。
(2)①销售利润之和 $W=$ 甲种蔬菜的利润 $+$ 乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可。②由题意可得 $W$ 关于 $x$ 的一元二次方程，求得方程的根，再结合 $x$ 的取值范围，可得答案。
[答案] 解：
(1)由题意得 $5k = 3$，解得 $k = 0.6$，
$\therefore y_1 = 0.6x$。由 $\begin{cases}a + b = 2,\\25a + 5b = 6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -0.2,\\b = 2.2,\end{cases}$
$\therefore y_2 = -0.2x^2 + 2.2x$。
(2)①$W = 0.6(10 - t) + (-0.2t^2 + 2.2t) = -0.2t^2 + 1.6t + 6 = -0.2(t - 4)^2 + 9.2$，$\therefore$ 当 $t = 4$ 时，$W$ 有最大值 $9.2$。
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元。
②当 $W = 8.4 = -0.2(t - 4)^2 + 9.2$，$\therefore t_1 = 2$，$t_2 = 6$。$\because -0.2 ＜ 0$，$\therefore$ 当 $2\leqslant t\leqslant 6$ 时，$W\geqslant 8.4$。
答：乙种蔬菜进货量应在 $2\leqslant t\leqslant 6$ 范围合适。