《2026年步步高精准讲练高中数学选择性必修第二册人教版》

观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？

答案： 由于$a_n = a_1 + (n - 1)d = dn + (a_1 - d)$，故$a_n$是函数$f(x) = dx + (a_1 - d)$当$x = n$时的函数值，即$a_n = f(n)$，点$(n, a_n)$则是函数$f(x) = dx + (a_1 - d)$图象上均匀分布的孤立的点，而$d$是直线$f(x) = dx + (a_1 - d)$的斜率，记为$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1} (n \geq 2)$，实际上，如果已知直线上任意两点$(n, a_n)，(m, a_m)$，由斜率的公式可知$d = \frac{a_n - a_m}{n - m}$，公差$d$的符号决定了数列的单调性，$d ＞ 0$时，数列$\{a_n\}$为递增数列，$d = 0$时，数列$\{a_n\}$为常数列，$d ＜ 0$时，数列$\{a_n\}$为递减数列.

1. 首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $ 的等差数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式为 $ a_n = $$a_1 + (n - 1)d$.

答案： $1. a_1 + (n - 1)d$

2. 若数列 $ \{ a_n \} $ 是等差数列，首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则 $ a_n = f(n) = a_1 + (n - 1)d = nd + (a_1 - d) $.
(1)点 $ (n,a_n) $ 落在直线 $ y = dx + (a_1 - d) $ 上，这条直线的斜率为$d$，在 $ y $ 轴上的截距为$a_1 - d$；
(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加$d$.

答案： $2. (1)d$ $a_1 - d$ $(2)d$

在等差数列 $ \{ a_n \} $ 中，
(1)已知 $ a_5 = -1,a_8 = 2 $，求 $ a_1 $ 与 $ d $；
(2)已知 $ a_1 + a_6 = 12,a_4 = 7 $，求 $ a_n $.

答案： 解
(1)由题意知$\begin{cases}a_1 + (5 - 1)d = -1, \\a_1 + (8 - 1)d = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = -5, \\d = 1.\end{cases}$
(2)设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，由题意知$\begin{cases}a_1 + a_1 + (6 - 1)d = 12, \\a_1 + (4 - 1)d = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1 = 1, \\d = 2.\end{cases}$所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1) × 2 = 2n - 1, n \in N^*$.

延伸探究
若等差数列 $ \{ a_n \} $ 的前三项和为 24，第二项与第三项之积为 40，求数列 $ \{ a_n \} $ 的前三项，并写出通项公式.
反思感悟：

答案： 解 设等差数列\{a_n\}的公差为d，由题可得$\begin{cases}a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 24, \a_1 + d)(a_1 + 2d) = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}d = -3, \\a_1 = 11,\end{cases}$所以$a_2 = a_1 + d = 8, a_3 = a_1 + 2d = 5.$数列\{a_n\}的通项公式为a_n = 11 + (n - 1) × (-3) = -3n + 14.

在等差数列 $ \{ a_n \} $ 中，求解下列各题：
(1)已知 $ \{ a_n \} $ 的前 3 项依次为 2，6，10，则 $ a_{15} = $$58$；
(2)已知公差 $ d = -\frac{1}{3},a_7 = 8 $，则 $ a_1 = $$10$；
(3)已知 $ a_3 = 0,a_7 - 2a_4 = -1 $，则公差 $ d = $$-\frac{1}{2}$；
(4)等差数列 $ 20,17,14,11,·s $ 中第一个负数项是第$8$项.

答案：
(1)$58$
(2)$10$
(3)$-\frac{1}{2}$
(4)$8$

如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？

答案： 不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.

证明或判定等差数列的方法
(1)定义法：$ a_{n + 1} - a_n = d(n \in \mathbf{N}^*) $.
(2)等差中项法：$ 2a_n = a_{n - 1} + a_{n + 1}(n \geq 2) $.
(3)通项公式法：$ a_n = a_1 + (n - 1)d = pn + q $（$ p,q $ 为常数）.

答案： 1. 定义法证明：
若对于数列$\{ a_{n}\}$，能证明$a_{n + 1}-a_{n}=d$（$d$为常数），$n\in\mathbf{N}^*$，则数列$\{ a_{n}\}$是等差数列。
例如，已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=kn + b$（$k,b$为常数），则$a_{n + 1}-a_{n}=k(n + 1)+b-(kn + b)=k$（常数），所以$\{ a_{n}\}$是等差数列。
2. 等差中项法证明：
若对于数列$\{ a_{n}\}$，$n\geq2$时，都能满足$2a_{n}=a_{n - 1}+a_{n + 1}$，则数列$\{ a_{n}\}$是等差数列。
设数列$\{ a_{n}\}$满足$2a_{n}=a_{n - 1}+a_{n + 1}(n\geq2)$，那么$a_{n + 1}-a_{n}=a_{n}-a_{n - 1}$，由等差数列定义可知$\{ a_{n}\}$是等差数列。
3. 通项公式法证明：
若数列$\{ a_{n}\}$的通项公式能化为$a_{n}=pn + q$（$p,q$为常数）的形式，则$\{ a_{n}\}$是等差数列。
因为$a_{n + 1}-a_{n}=p(n + 1)+q-(pn+q)=p$（常数），满足等差数列定义，所以$\{ a_{n}\}$是等差数列。